微分I(2016年度後期)
第10回　対数関数の微分

対数関数の微分を学ぶ. 教科書p65-68の範囲.

• (復習) 対数関数

対数関数$\log_a x$とは指数関数の逆関数で, $\log_ax$の値は$a^y=x$を満たす$y$のことである. $\log_a x$の$a$を底, $x$を真数という.

例  $\log_28=3,\quad\log_39=2,\quad\log_41=0,\quad\log_{10}10=1$

• (復習) 対数法則

定理  対数について次の性質が成り立つ.

• $\log_a xy=\log_a x+\log_a y$
• $\log_a \dfrac{x}{y}=\log_ax-\log_a y$
• $\log_a x^u=u\log_ax$
• $\log_a x=\dfrac{\log_bx}{\log_ba}$
• ネピアの数(Napier's constant)

$\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\dfrac{1}{h}}$は収束することが知られている. この極限値をネピアの数と呼び, $e$と書く.

注意  $e\fallingdotseq 2.71828...$

• 自然対数

ネピアの数を底とする対数関数$\log_ex$を自然対数といい, 単に$\log x$で表す.

例  $\log 1=0,\qquad \log e=1,\qquad \log e^2=2,\qquad \log e^3=3$
$\log \dfrac{1}{e}=-1,\qquad \log \dfrac{1}{e^2}=-2,\qquad \log \sqrt{e}=\dfrac{1}{2}$

• 自然対数の微分

定理  $(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x}$

証明  微分の定義と対数についての法則を用いれば, $$(\log x)^\prime= \lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{\log(x+\varDelta x)-\log x}{\varDelta x}= \lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{1}{\varDelta x}\cdot\log\left(\dfrac{x+\varDelta x}{x}\right)= \lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{x}{\varDelta x}\cdot\log\left(1+\dfrac{\varDelta x}{x}\right)= \dfrac{1}{x}\lim_{\varDelta x\to 0}\log\left(1+\dfrac{\varDelta x}{x}\right)^{\dfrac{1}{\left(\dfrac{x}{\varDelta x}\right)}}$$ を得る. 対数関数が連続であることとネピアの数の定義式, それから, $h=\dfrac{\varDelta x}{x}$とおけば$\varDelta x\to 0$と$h\to 0$とは同じことなので, 最右辺を変形していくと, $$\dfrac{1}{x}\lim_{\varDelta x\to 0}\log\left(1+\dfrac{\varDelta x}{x}\right)^{\dfrac{1}{\left(\dfrac{x}{\varDelta x}\right)}}= \dfrac{1}{x}\lim_{h\to 0}\log\left(1+h\right)^{\dfrac{1}{h}}= \dfrac{1}{x}\log\lim_{h\to 0}\left(1+h\right)^{\dfrac{1}{h}}= \dfrac{1}{x}\log e= \dfrac{1}{x}$$ となって, $(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x}$が成り立つ.

例  $\big(\log(2x+1)\big)^\prime=\dfrac{1}{2x+1}\cdot(2x+1)^\prime=\dfrac{2}{2x+1}$
$\left(\log\dfrac{x-1}{2x+3}\right)^\prime=\big(\log(x-1)-\log(2x+3)\big)^\prime= \dfrac{1}{x-1}\cdot(x-1)^\prime-\dfrac{1}{2x+3}\cdot(2x+3)^\prime= \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{2x+3}=\dfrac{5}{(x-1)(2x+3)}$
$\big(\log(1+\tan x)\big)^\prime= \dfrac{1}{1+\tan x}\cdot\big(1+\tan x\big)^\prime= \dfrac{1}{1+\tan x}\cdot\dfrac{1}{\cos^2x}= \dfrac{1}{(1+\tan x)\cos^2x}$


定理  $(\log |x|)^\prime=\dfrac{1}{x}$

証明  $x>0$のときは $$(\log |x|)^\prime=(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x}$$ である. また, $x<0$のときも $$(\log |x|)^\prime=(\log(-x))^\prime=\dfrac{1}{-x}\cdot(-x)^\prime=\dfrac{1}{x}$$ である.

• 対数関数の微分

定理  $(\log_a x)^\prime=\dfrac{1}{x\log a}$

証明  $\log_a x=\dfrac{\log x}{\log a}$であるから, $$(\log_a x)^\prime= \left(\dfrac{\log x}{\log a}\right)^\prime= \dfrac{1}{\log a}\cdot\left(\log x\right)^\prime= \dfrac{1}{\log a}\cdot\dfrac{1}{x}= \dfrac{1}{x\log a}$$ を得る.