不定積分の部分積分法を学ぶ. 教科書p124-126の範囲.
定理 $\displaystyle\int f(x)g^\prime(x) dx=f(x)g(x)-\int f^\prime(x)g(x) dx$
証明 $f(x)g(x)=\displaystyle\int f(x)g^\prime(x) dx+\int f^\prime(x)g(x) dx$を示せば良い. 不定積分の線形性より右辺は$\displaystyle\int(f(x)g^\prime(x)+f^\prime(x)g(x)) dx$であるから, 結局 $$f(x)g(x)=\int(f(x)g^\prime(x)+f^\prime(x)g(x))dx$$ を示せばいい. 積の微分公式$\{f(x)g(x)\}^\prime=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)$より, 上の等式が成立する.
例
$\displaystyle\int(x+3)\cos xdx=\int(x+3)(\sin x)^\prime dx=(x+3)\sin x-\int\sin xdx=(x+3)\sin x+\cos x+C$ ($C$は積分定数)
$\displaystyle\int x^2e^xdx=\int x^2(e^x)^\prime dx=x^2e^x-\int 2xe^xdx=x^2e^x-2xe^x+2\int e^xdx=(x^2-2x+2)e^x+C$ ($C$は積分定数)
例 $\displaystyle\int e^{2x}\cos xdx$を計算する. $I=\displaystyle\int e^{2x}\cos xdx$とおくと, $$I=\int e^{2x}\cos xdx=\int e^{2x}(\sin x)^\prime dx=e^{2x}\sin x-2\int e^{2x}(-\cos x)^\prime dx=e^{2x}\sin x+2e^{2x}\cos x-4\int e^{2x}\cos xdx=e^{2x}(\sin x+2\cos x)-4I$$ 最右辺の$-4I$を最左辺に移行して$5I=e^{2x}(\sin x+2\cos x)$を得る. これから, $$I=\dfrac{1}{5}e^{2x}(\sin x+2\cos x)$$が得られる.
$\displaystyle\int f(x) dx=xf(x)-\int xf^\prime(x) dx$
証明 部分積分の公式において$g(x)=x$と置けばよい.
例
$\displaystyle\int \log xdx=x\log x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}dx=x\log x-x+C=x(\log x -1)+C$ ($C$は積分定数)
$\displaystyle\int \tan^{-1} xdx=x\tan^{-1} x-\int x\cdot\dfrac{1}{1+x^2}dx=x\tan^{-1} x-\left.\int\dfrac{1}{2t}dt\right|_{t=1+x^2}=x\tan^{-1}x-\dfrac{1}{2}\log(1+x^2)+C$ ($C$は積分定数)