日大工　総合教育　樋口幸治郎

工科系数学I及び演習(2017年度後期)

第11,12回　指数・対数の微分

Nihil est sine ratione.
理なくしては何物もない.

--- Gottfried Wilhelm Leibniz
「Samuel Clarkeへの手紙」より　ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ

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初めに

• 今回の内容

指数関数と対数関数の微分公式を導く(教科書p66-69の範囲). また, 高次導関数について学ぶ(教科書p70,p96,p107-109).

指数関数と対数関数の微分

• 自然指数関数$e^x$の微分

自然な底(=ネピアの数)$e$の定義は, $(e^x)^\prime=e^x$となる指数関数の底であった.

定理(p69[III])  $$(e^x)^\prime=e^x$$

• 自然対数関数$\log x$の微分

定理(p67[II])  $$(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x}$$ さらに $$(\log|x|)^\prime=\dfrac{1}{x}$$

証明  $$\begin{align} \underset{約分の公式}{\Longrightarrow}&e^{\log x}=x\\ \underset{両辺を微分}{\Longrightarrow}&\left(e^{\log x}\right)^\prime=(x)^\prime\\ \underset{合成の微分}{\Longrightarrow}&e^{\log x}\cdot(\log x)^\prime=1\\ \underset{約分}{\Longrightarrow}&x\cdot(\log x)^\prime=1\\ \underset{移行}{\Longrightarrow}&(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x}\\ \end{align}$$ 次に$\log|x|$の微分は, $x>0$のときは, $$(\log |x|)^\prime=(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x}$$ $x<0$のときは $$(\log |x|)^\prime=(\log(-x))^\prime=\dfrac{1}{-x}\cdot(-x)^\prime=\dfrac{1}{x}$$

• 例題
• p67例題1

(1) $(\log(2x+1))^\prime=?$  (2) $\left(\log\dfrac{x-1}{2x+3}\right)^\prime=?$ 

答.   (1) $$\begin{align} &(\log(2x+1))^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&\dfrac{1}{2x+1}\cdot(2x+1)^\prime\\ \underset{微分計算}{=}&\dfrac{2}{2x+1}\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\left(\log\dfrac{x-1}{2x+3}\right)^\prime\\ \underset{対数法則}{=}&\left(\log(x-1)-\log(2x+3)\right)^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&\dfrac{1}{x-1}\cdot(x-1)^\prime-\dfrac{1}{2x+3}\cdot(2x+3)^\prime\\ \underset{微分計算}{=}&\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{2}{2x+3}\\ \underset{通分}{=}&\dfrac{5}{(x-1)(2x+3)}\\ \end{align}$$

• p69例題1

(1) $((x^2+3x)e^{3x})^\prime=?$  (2) $\left(\dfrac{e^{-x}-1}{e^x+1}\right)^\prime=?$ 

答.   (1) $$\begin{align} &((x^2+3x)e^{3x})^\prime\\ \underset{積の微分}{=}&(x^2+3x)^\prime e^{3x}+(x^2+3x)(e^{3x})^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&(x^2+3x)^\prime e^{3x}+(x^2+3x)e^{3x}\cdot(3x)^\prime\\ \underset{微分計算}{=}&(2x+3) e^{3x}+(x^2+3x)e^{3x}\cdot 3\\ \underset{変形}{=}&(3x^2+11x+3) e^{3x}\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\left(\dfrac{e^{-x}-1}{e^x+1}\right)^\prime\\ \underset{商の微分}{=}&\dfrac{(e^{-x}-1)^\prime(e^x+1)-(e^{-x}-1)(e^x+1)^\prime}{(e^x+1)^2}\\ \underset{合成の微分}{=}&\dfrac{e^{-x}\cdot(-x)^\prime\cdot(e^x+1)-(e^{-x}-1)\cdot e^x}{(e^x+1)^2}\\ \underset{微分計算}{=}&\dfrac{-e^{-x}(e^x+1)-(e^{-x}-1)e^x}{(e^x+1)^2}\\ \underset{変形}{=}&\dfrac{e^x-e^{-x}-2}{(e^x+1)^2}\\ \end{align}$$

• 冪関数$x^a$の微分公式の証明

定理  $$(x^a)^\prime=ax^{a-1}$$

証明  $$\begin{align} \underset{対数法則}{\Longrightarrow}&\log x^a=a\log x\\ \underset{両辺を微分}{\Longrightarrow}&\left(\log x^a\right)^\prime=(a\log x)^\prime\\ \underset{合成の微分}{\Longrightarrow}&\dfrac{1}{x^a}\cdot(x^a)^\prime=a\cdot\dfrac{1}{x}\\ \underset{移行}{\Longrightarrow}&(x^a)^\prime=a\cdot \dfrac{1}{x}\cdot x^a\\ \underset{指数法則}{\Longrightarrow}&(x^a)^\prime=ax^{a-1}\\ \end{align}$$

• 一般の指数関数・対数関数の微分

定理  $$(a^x)^\prime=a^x\log a$$ $$(\log_ax)^\prime=\dfrac{1}{x\log a}$$

証明  $$\begin{align} &(a^x)^\prime\\ \underset{a=e^{\log a}だから}{=}&((e^{\log a})^x)^\prime\\ \underset{指数法則}{=}&(e^{x\log a})^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&e^{x\log a}(x\log a)^\prime\\ \underset{変形}{=}&(e^{\log a})^x\cdot\log a\\ \underset{a=e^{\log a}だから}{=}&a^x\log a\\ \end{align}$$ 次に, $$\begin{align} \underset{約分の公式}{\Longrightarrow}&a^{\log_a x}=x\\ \underset{両辺を微分}{\Longrightarrow}&\left(a^{\log_a x}\right)^\prime=(x)^\prime\\ \underset{合成の微分}{\Longrightarrow}&a^{\log_a x}\log a\cdot(\log_a x)^\prime=1\\ \underset{約分}{\Longrightarrow}&x\log a\cdot(\log_a x)^\prime=1\\ \underset{移行}{\Longrightarrow}&(\log_a x)^\prime=\dfrac{1}{x\log a}\\ \end{align}$$

• 例題

p68例1. (1) $$(\log_2x)^\prime=\dfrac{1}{x\log 2}$$ (2) $$\left(\log_3\dfrac{1}{x+2}\right)^\prime=-(\log_3(x+2))^\prime=-\dfrac{1}{(x+2)\log 3}\cdot(x+2)^\prime=-\dfrac{1}{(x+2)\log a}$$ p70例1. (1) $$(3^x)^\prime=3^x\log 3$$ (2) $$(10^{x^2})^\prime=10^{x^2}\log 10\cdot(x^2)^\prime=2(\log 10)x10^{x^2}$$

• 今回の要点

1. 自然指数の微分$(e^x)^\prime=e^x$

2. 自然対数の微分$(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x}$

• 課題

教科書p71のAの2-7, Bの2-5の中から(逆)三角関数を含まない微分の問題を10問以上選択して解きなさい.

高次導関数

• 高次導関数

定義  関数$y=f(x)$を何回か微分することで得られる関数を $$f(x)の高次導関数$$という.

$n$回の微分で得られる高次導関数は $$第n次導関数,\quad又は,\quad n回微分$$ といい, $$y^{(n)},\quad f^{(n)},\quad f^{(n)}(x),\quad \dfrac{d^ny}{dx^n},\quad \dfrac{d^nf}{dx^n},\quad \dfrac{d^nf(x)}{dx^n}$$ などと書く.

$n$が小さいときには $$f^{(2)}(x)=f^{\prime\prime}(x),\quad y^{(3)}=y^{\prime\prime\prime}$$ などの表記も用いる. また, $$f^{(0)}(x)=f(x),\quad f^{(1)}(x)=f^\prime(x)$$ と定める.

注意. 微分可能な関数であっても, 何回でも微分できるわけではない. $n$回微分できる関数は $$n回微分可能関数$$ という.

• 例題
• p96例1

(1) $(x^4+2x^3-3x^2+5x-3)^{\prime\prime}=?$  (2) $(x^2e^x)^{\prime\prime}=?$ 

答.   (1) $$\begin{align} &(x^4+2x^3-3x^2+5x-3)^{\prime\prime}\\ \underset{1回目の微分}{=}&(4x^3+6x^2-6x+5)^\prime\\ \underset{2回目の微分}{=}&12x^2+12x-6\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &(x^2e^x)^{\prime\prime}\\ \underset{積の微分}{=}&((x^2)^\prime e^x+x^2\cdot(e^x)^\prime)^\prime\\ \underset{微分計算}{=}&(2x e^x+x^2e^x)^\prime\\ \underset{変形}{=}&((x^2+2x)e^x)^\prime\\ \underset{積の微分}{=}&(x^2+2x)^\prime\cdot e^x+(x^2+2x)\cdot(e^x)^\prime\\ \underset{微分計算}{=}&(2x+2)\cdot e^x+(x^2+2x)\cdot e^x\\ \underset{変形}{=}&(x^2+4x+2)e^x\\ \end{align}$$

• p108例1

$e^x$の$n$次導関数は?

答.   $$\begin{align} &e^x\\ \underset{1回目の微分}{\Longrightarrow}&e^x\\ \underset{2回目の微分}{\Longrightarrow}&e^x\\ \underset{3回目の微分}{\Longrightarrow}&e^x\\ \cdots&\cdots\\ \cdots&\cdots\\ \underset{n回目の微分}{\Longrightarrow}&e^x\\ \end{align}$$

• 高次導関数の役割

関数$y=f(x)$の高次導関数を考えることは, 少なくとも次の2点において役に立つ.

1. 関数$y=f(x)$のグラフの概形を把握する
(関数の増減, 凹凸, 極値や変曲点を求めることができる)

2. 関数$y=f(x)$を多項式で近似する
(冪級数展開(=マクローリン展開, テイラー展開)を求めることができる. これによって, 例えば, 関数を複素数上の関数に拡張することが自然にできる. また, 行列の理論と組み合わせて, 微分方程式を解くときにも使える.)

• 関数の冪級数展開(発展的話題)

何回でも微分可能な関数$y=f(x)$の中には冪級数(=無限の多項式) $$\begin{align} f(x)&=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\\ &=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots\quad(a_nは定数)\tag{1} \end{align}$$ で表すことのできる関数がある. このような関数を解析的関数という. 実は各係数$a_n$を $$a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\qquad(n\ge 0)\tag{2}$$ と高次導関数の値$f^{(n)}(0)$を用いて表すことができる. (1)に(2)を代入すれば $$\begin{align} f(x)&=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\ &=f(0)+f^\prime(0)x+\dfrac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\cdots\tag{3} \end{align}$$ である. これを関数$f(x)$の冪級数展開, 又は, マクローリン展開という.

(2)の証明.   $$\begin{align} \underset{(1)より}{\Longrightarrow}&f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots\\ \underset{両辺をn回微分}{\Longrightarrow}&f^{(n)}(x)=n!a_n+ _{n+1}P_na_{n+1}x+ _{n+2}P_na_{n+2}x^2+\cdots\tag{*}\\ \underset{x=0を代入}{\Longrightarrow}&f^{(n)}(0)=n!a_n\\ \underset{移行}{\Longrightarrow}&a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\\ \end{align}$$ 但し, (*)において$_kP_n=k\cdot (k-1)\cdot(k-2)\cdot...\cdot(k-n+1)$とする.

• 例題

自然指数関数$e^x$の冪級数展開を求めなさい.

答.   $f(x)=e^x$と置く. $n$次導関数$f^{(n)}(x)=e^x$より, $f^{(n)}(0)=e^0=1$である. 故に, (3)より, $$\begin{align} e^x&=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}x^n\\ &=1+\dfrac{1}{1!}x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\cdots \end{align}$$

上記の冪級数展開 $$\begin{align} e^x&=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}x^n\\ &=1+\dfrac{1}{1!}x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\cdots \end{align}$$ で, $x=1$を代入すれば, $$\begin{align} e&=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!}\\ &=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots \end{align}$$ が得られる. この式からネピアの数$e$の値 $$2.718281828...$$ が求められる.

• 今回の要点

1. $n$次導関数$f^{(n)}(x)=$「$f(x)$の$n$回微分」

2. 高次導関数はグラフの概形の把握や多項式近似で役立つ.

• 課題

教科書p105のAの3を解きなさい.