but to myself I seem to have been only like a boy playing on the sea-shore,
and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary,
whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me.
日大工 総合教育 樋口幸治郎
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I do not know what I may appear to the world,
but to myself I seem to have been only like a boy playing on the sea-shore,
and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary,
whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me.
--- Isaac Newton
アイザック・ニュートンの晩年の言葉
今回の主な内容は, 微分の定義を学び, 冪関数の微分や, 微分の線形性, 合成の微分公式を学ぶことである. (教科書p3-10, p33-34, p38-44)
本講義の主題である「微分」は, $$関数の(瞬間の)変化率$$ を意味する. これはまた $$グラフにおける接線の傾き$$ と言っても良い.
この「変化率」というモノは, 厳密には, $$平均変化率というより単純なモノの極限$$ として定義される.
人口の推移, 物体の移動, 時々刻々の気温や湿度など, 世の中には変化する様々なモノが溢れている. このように変化するモノの量は, しばしば, 微分を用いた方程式(=微分方程式)で表されることで, その変化の仕組みが説明され, そして方程式を解くことで, 未来の変化も予測される.
関数$y=f(x)$について, $x=a$での変化率を $$f(x)の微分係数$$ といい, $$f^\prime(a)$$ と書く. この$x=a$での変化率, すなわち, 微分(係数)$f^\prime(a)$は, より厳密に, $x=a$を含む範囲での$$平均変化率の極限$$として定義することができる.
定義(p5) 関数$y=f(x)$について, $x=a$での微分(係数)$f^\prime(a)$を $$f^\prime(a)=\lim_{b\to a}\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ と定義する. 右辺の $$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ を($a$から$b$までの)平均変化率という.
定義(p6) 関数$y=f(x)$について, 実数$a$に対し実数$f^\prime(a)$と対応させる関数を $$y=f(x)の導関数, 又は, 微分$$ といい, $$y^\prime,\quad f^\prime,\quad f^\prime(x),\quad \dfrac{dy}{dx},\quad \dfrac{df}{dx},\quad \dfrac{d}{dx}f(x)$$ などと色々な表記で書く(注意: 「微分」は多義語, 微分係数$f^\prime(a)$も導関数$f^\prime(x)$も意味し得る). 定義から $$f^\prime(x)=\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{\varDelta y}{\varDelta x} =\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x} =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{x_1\to x}\dfrac{f(x_1)-f(x)}{x_1-x}$$ であるが, 微分の計算にどれも良く使う.
また, $$\left.f^\prime(x)\right|_{x=a}=f^\prime(a)$$ である(記号「$\left.(\cdot)\right|_{x=a}$」は$x=a$を代入することを表す). つまり, 導関数$f^\prime(x)$を求めておけば, 微分係数$f^\prime(a)$は$x=a$を代入すれば得られる.
どの関数も微分できるわけではない. 定義域上のどの点$x=a$でも微分可能である関数を$$微分可能関数$$という.
定理(p34) 微分可能関数$y=f(x)$は連続関数である.
証明. 関数$y=f(x)$の定義域上の任意の$a$について, 等式 $$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$ が成り立つことを示せば良い. $$\begin{align} &\lim_{x\to a}f(x)\\ \underset{冗長に書くと}{=}&\lim_{x\to a}\left(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)+f(a)\right)\\ \underset{limを分けて}{=}&\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\lim_{x\to a}(x-a)+\lim_{x\to a}f(a)\\ \underset{f^\prime(a)の定義など}{=}&f^\prime(a)\cdot 0+f(a)\\ =&f(a)\\ \end{align}$$
講義で扱う関数は, 基本的に, 微分可能関数だけである. 従って, それらは連続関数でもある. 連続関数についての極限は, 不定形が現れない限り, 代入で計算できるのだったから, 微分 $$f^\prime(x)=\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}$$ の計算においても, $$不定形が現れない限り, \varDelta xに0を代入するだけで計算できる$$ ことになる. しかし, 右辺を変形せずに$\varDelta x$に$0$を代入すれば不定形$\dfrac{0}{0}$が現れるので, 必ず $$平均変化率\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}を変形後, \varDelta xに0を代入する$$ ことが微分の計算では必要である.
例.
$$(x)^\prime=1$$
$$(x^2)^\prime=2x$$
$$(x^3)^\prime=3x^2$$
$$(k)^\prime=0\qquad (kは定数)$$
である.
以下で定義に沿って実際に計算してみる.
p6例1. (1)
$$\begin{align}
(x)^\prime\underset{微分の定義}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{(x+\varDelta x)-x}{\varDelta x}\\
\underset{分子を計算}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{\varDelta x}{\varDelta x}\\
\underset{約分}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}1\\
\underset{\varDelta x=0を代入}{=}&1\\
\end{align}$$
(2)
$$\begin{align}
(x^2)^\prime\underset{微分の定義}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{(x+\varDelta x)^2-x^2}{\varDelta x}\\
\underset{分子を計算}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{(x^2+2x\varDelta x+(\varDelta x)^2)-x^2}{\varDelta x}\\
\underset{分子を計算}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{2x\varDelta x+(\varDelta x)^2}{\varDelta x}\\
\underset{約分}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}(2x+\varDelta x)\\
\underset{\varDelta x=0を代入}{=}&2x\\
\end{align}$$
p6例題1
$$\begin{align}
(x^3)^\prime\underset{微分の定義}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{(x+\varDelta x)^3-x^3}{\varDelta x}\\
\underset{分子を計算}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{(x^3+3x^2\varDelta x+3x(\varDelta x)^2+(\varDelta x)^3)-x^3}{\varDelta x}\\
\underset{分子を計算}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{3x^2\varDelta x+3x(\varDelta x)^2+(\varDelta x)^3}{\varDelta x}\\
\underset{約分}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}(3x^2+3x\varDelta x+(\varDelta x)^2)\\
\underset{\varDelta x=0を代入}{=}&3x^2\\
\end{align}$$
p7[IV](i)
kを定数とする.
$$\begin{align}
(k)^\prime\underset{微分の定義}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{k-k}{\varDelta x}\\
=&\lim_{\varDelta x\to 0}0\\
\underset{\varDelta x=0を代入}{=}&0\\
\end{align}$$
定理(p7[III],p38[V],p41[VIII],p70例題1) 定数$a$について, $$(x^a)^\prime=ax^{a-1}$$ が成り立つ.
例 $$(x)^\prime\underset{公式}{=}1\cdot x^0=1$$ $$(x^2)^\prime\underset{公式}{=}2x^1=2x$$ $$(x^3)^\prime\underset{公式}{=}3x^2$$
定理(微分の線形性)(p7) $$\Big(f(x)\pm g(x)\Big)^\prime=f^\prime(x)\pm g^\prime(x)$$ $$\Big(kf(x)\Big)^\prime=kf^\prime(x)\qquad(kは定数)$$
証明 $$\begin{align} &\Big(f(x)\pm g(x)\Big)^\prime\\ \underset{微分の定義}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{(f(x+\varDelta x)\pm g(x+\varDelta x))-(f(x)\pm g(x))}{\varDelta x}\\ \underset{変形}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}\pm \dfrac{g(x+\varDelta x)-g(x)}{\varDelta x}\\ \underset{limを分解}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}\pm \lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{g(x+\varDelta x)-g(x)}{\varDelta x}\\ \underset{微分の定義}{=}&f^\prime(x)\pm g^\prime(x)\\ \end{align}$$ また, $$\begin{align} &\Big(kf(x)\Big)^\prime\\ \underset{微分の定義}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{kf(x+\varDelta x)-kf(x)}{\varDelta x}\\ \underset{変形}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}k\cdot \dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}\\ \underset{limを分解}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}k\cdot \lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}\\ \underset{微分の定義など}{=}&kf^\prime(x)\\ \end{align}$$
(1) $\left(x^3-x^2+4\right)^\prime=?$ (2) $\left(3x^4-2x^3+5x+3\right)^\prime=?$
答 (1) $$\begin{align} &\left(x^3-x^2+4\right)^\prime\\ \underset{線形性}{=}&\left(x^3\right)^\prime-\left(x^2\right)^\prime+\left(4\right)^\prime\\ \underset{微分を計算}{=}&3x^2-2x+0\\ =&3x^2-2x\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\left(3x^4-2x^3+5x+3\right)^\prime\\ \underset{線形性}{=}&3\left(x^4\right)^\prime-2\left(x^3\right)^\prime+5\left(x\right)^\prime+\left(3\right)^\prime\\ \underset{微分を計算}{=}&3\cdot 4x^3-2\cdot 3x^2+5+0\\ =&12x^3-6x^2+5\\ \end{align}$$
1. 微分とは, 微分係数や導関数を意味し, $$微分係数 = 変化率 = 平均変化率の極限$$ $$導関数 = 変化率の定める関数$$
2. 微分可能関数は連続関数
3. 冪関数の微分公式$(x^a)^\prime=ax^{a-1}$
4. 微分は線形性を持つ.
教科書p9-10のA,Bの微分に関する問題の中から8問以上選択して解きなさい.
冪関数$x^a$について, $$\dfrac{1}{x}=x^{-1}\qquad \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\qquad \sqrt[p]{x^q}=x^{\frac{q}{p}}$$ が成り立つので, 逆数や平方根, 累乗根の微分は冪関数の微分に帰着される.
p41例2. (1) $$\begin{align} &(\sqrt[3]{x})^\prime\\ \underset{冪関数の形に}{=}&\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^\prime\\ \underset{冪関数の微分}{=}&\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\\ \underset{累乗根の形に}{=}&\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\left(\dfrac{1}{\sqrt[5]{x^3}}\right)^\prime\\ \underset{冪関数の形に}{=}&\left(x^{-\frac{3}{5}}\right)^\prime\\ \underset{冪関数の微分}{=}&-\dfrac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}}\\ \underset{累乗根の形に}{=}&-\dfrac{3}{5\sqrt[5]{x^8}}\\ \end{align}$$
定義 関数$f(x)$に別の関数$g(x)$を代入(合成ともいう)して得られる関数 $$f(g(x))$$ を合成関数という.
例. $$関数x^2に関数2x+3を代入した合成関数は(2x+3)^2$$ $$関数\cos xに関数x^2+xを代入した合成関数は\cos(x^2+x)$$ $$関数e^xに関数\sin xを代入した合成関数はe^{\sin x}$$
定理(p39[VII]) $$\Big(f(g(x))\Big)^\prime=f^\prime(g(x))g^\prime(x)$$ が成り立つ. (これを $$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dt}\dfrac{dt}{dx}$$ とも書く.)
証明 $\varDelta x\ne 0$に対し, $\varDelta t$を $$\varDelta t=\begin{cases} g(x+\varDelta x)-g(x) & g(x+\varDelta x)-g(x)\ne 0のとき\\ \varDelta x & g(x+\varDelta x)-g(x)= 0のとき \end{cases}$$ とおけば, $$\begin{align} &\Big(f(g(x))\Big)^\prime\\ \underset{微分の定義}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(g(x+\varDelta x))-f(g(x))}{\varDelta x}\\ \underset{冗長に書いて}{=}&\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(g(x)+\varDelta t))-f(g(x))}{\varDelta t}\cdot \dfrac{g(x+\varDelta x)-g(x)}{\varDelta x}\\ \underset{limを分解}{=}&\lim_{\varDelta t\to 0}\dfrac{f(g(x)+\varDelta t)-f(g(x))}{\varDelta t}\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{g(x+\varDelta x)-g(x)}{\varDelta x}\\ \underset{微分の定義}{=}&f^\prime(g(x))g^\prime(x)\\ \end{align}$$
$$\begin{align} \Big(f(ax+b)\Big)^\prime\underset{合成の微分}{=}&f^\prime(ax+b)\cdot(ax+b)^\prime\\ =&f^\prime(ax+b)\cdot a\\ =&af^\prime(ax+b) \end{align}$$
(1) $\left((3x-4)^4\right)^\prime=?$ (2) $\left(\sqrt{4x+3}\right)^\prime=?$
答. (1) $$\begin{align} &\left((3x-4)^4\right)^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&4(3x-4)^3\cdot(3x-4)^\prime\\ =&4(3x-4)^3\cdot 3\\ =&12(3x-4)^3\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\left(\sqrt{4x+3}\right)^\prime\\ \underset{冪関数の形に}{=}&\left((4x+3)^{\frac{1}{2}}\right)^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&\dfrac{1}{2}(4x+3)^{-\frac{1}{2}}\cdot(4x+3)^\prime\\ =&\dfrac{1}{2}(4x+3)^{-\frac{1}{2}}\cdot 4\\ =&2(4x+3)^{-\frac{1}{2}}\\ =&\dfrac{2}{\sqrt{4x+3}}\\ \end{align}$$
(1) $\left((3x^2+5x+2)^3\right)^\prime=?$ (2) $\left(\sqrt{7-4x+x^2}\right)^\prime=?$
答. (1) $$\begin{align} &\left((3x^2+5x+2)^3\right)^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&3(3x^2+5x+2)^2\cdot(3x^2+5x+2)^\prime\\ =&3(3x^2+5x+2)^2\cdot(6x+5)\\ =&3(3x^2+5x+2)^2(6x+5)\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\left(\sqrt{7-4x+x^2}\right)^\prime\\ \underset{冪関数の形に}{=}&\left((7-4x+x^2)^{\frac{1}{2}}\right)^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&\dfrac{1}{2}(7-4x+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot(7-4x+x^2)^\prime\\ =&\dfrac{1}{2}(7-4x+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-4+2x)\\ =&(7-4x+x^2)^{-\frac{1}{2}}(x-2)\\ =&\dfrac{x-2}{\sqrt{7-4x+x^2}}\\ \end{align}$$
$\left(\sqrt[4]{(x^3-x)^3}\right)^\prime=?$
答. $$\begin{align} &\left(\sqrt[4]{(x^3-x)^3}\right)^\prime\\ \underset{冪関数の形に}{=}&\left((x^3-x)^{\frac{3}{4}}\right)^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&\dfrac{3}{4}(x^3-x)^{-\frac{1}{4}}\cdot(x^3-x)^\prime\\ =&\dfrac{3}{4}(x^3-x)^{-\frac{1}{4}}\cdot(3x^2-1)\\ =&\dfrac{3(3x^2-1)}{4\sqrt[4]{x^3-x}}\\ \end{align}$$
1. 逆数や累乗根の微分は冪関数の微分で求まる.
2. 合成関数の微分公式$\Big(f(g(x))\Big)^\prime=f^\prime(g(x))g^\prime(x)$
教科書p42のAの3を解きなさい.