人は死ぬが為したことは残る.
日大工 総合教育 樋口幸治郎
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Les hommes meurent, mais leurs travaux restent.
人は死ぬが為したことは残る.
--- Augustin Louis Cauchy
オーギュスタン=ルイ・コーシーの最後の言葉
今回の主な内容は, 極限と連続性の意味と性質を学び, 極限の計算方法を学ぶことである. (教科書p1-3, p19-32, p38-39)
モノ$x$に対し, 付随するモノ$y=f(x)$があるとする. $x$を変化させながらモノ$a$に「近づけていく」とき, $x$に付随する$y$が「近づいていく」モノを, ($x\to a$のときの)$y$の極限といい, $$\lim_{x\to a}y$$ と書く.
この講義では, 変化する実数が一定の実数に近づく, というタイプの極限のみを考えるが, 数学では, もっと広く「極限」という概念が取り扱われている.
$$複雑な問題を, 単純な問題に帰着させる$$ ことは, 数学において(より広く学問において)非常に重要なことであるが, 「極限」はこれの大いなる助けとなる概念で, $$複雑物に付随するモノを, よく分かっている単純物に付随するモノの極限として取り扱う$$ という発想が数学では繰り返し繰り返し現れる.
例えば, この講義の主題である「微分」は, 直感的には「関数の瞬間の変化率」を表す. 関数に付随する「ある瞬間の変化率」, という一般的には捉え難いモノを, 上記の発想の一例として, $$ある幅での関数の平均変化率(これは直線の変化率)の極限$$ として取り扱われる.
また, 微分学の後続の理論である積分学において, 「定積分」は直感的にはある種の「面積」を意味するが, 図形に付随する「面積」, という捉え難いモノを, やはり上記の発想の一例として, $$長方形を組み合わせた図形の面積の極限$$ として取り扱われる.
「極限」という概念を理解していくことは, 数学の様々な理論を学ぶ上で役立つ.
$$定義域上でグラフに「飛び」がない$$ ような関数を連続関数という. 言い換えると, $$定義域上でグラフは繋がっている$$ ような関数が連続関数である.
例. $1$などの定数関数, $x,x^2,x^3$などの冪関数$x^a$, 指数関数$a^x$, 対数関数$\log_a x$, 三角関数$\sin x,\cos x,\tan x$は全て連続関数である.
関数$y=f(x)$の連続性は, 「極限」を用いて表現することもできる.定義
変数$x$が値を変えながら一定の値$a$に近づくことを
$$x\to a$$
と書き, $x$は$a$に近づくとか収束するという.
独立変数$x$が値を変化させると, 従属変数$y=f(x)$も値を変化させるが,
$$x\to a\quad (x\ne a)$$
のもとで
$$y\to b$$
であるとき,
$$y\to b\quad(x\to a)$$
とか,
$$\lim_{x\to a}y=b\qquad又は\qquad\lim_{x\to a}f(x)=b$$
と書き,
やはり$y$は$b$に近づく, 収束するという.
さらに, $b$を$x\to a$のときの関数$y=f(x)$の極限(値)という.
注意. $x$の近づく$a$で$f(x)$は定義されてなくても良い.
実際, 微分の定義で考える関数では定義されていない.
定義
関数$y=f(x)$について,
$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\qquad({}^\forall aは関数y=f(x)の定義域上の値)\tag{*}$$
$$\left(言い換えれば, x\to a\quad\Longrightarrow\quad y\to f(a)\qquad({}^\forall aは関数y=f(x)の定義域上の値)\right)$$
のとき, $y=f(x)$を連続関数という.
注意. 記号「${}^\forall$」は「全ての(for all)」とか「任意の(arbitrary)」と読む.
連続性の定義(*)より, 連続関数の極限の計算は, $$定義域上では, xの近づく値aを代入するだけ$$でよいことが分かる. 特に, $$冪/指数/対数/三角関数は連続$$ なので極限は$x$の近づく値$a$を代入するだけで計算できる.
例. $$\lim_{x\to 2}x\underset{x=2を代入}{=}2$$ $$\lim_{x\to 2}x^2\underset{x=2を代入}{=}2^2=4$$ $$\lim_{x\to 2}x^3\underset{x=2を代入}{=}2^3=8$$ $$\lim_{x\to 3}\sqrt{x}\underset{x=3を代入}{=}\sqrt{3}$$ $$\lim_{x\to 0}2^x\underset{x=0を代入}{=}2^0=1$$ $$\lim_{x\to \pi}\sin x\underset{x=\piを代入}{=}\sin \pi=0$$
定理 極限は定数倍や四則演算を保つ. すなわち, $$\lim_{x\to a} kf(x)=k\lim_{x\to a}f(x)\qquad(kは定数)$$ $$\lim_{x\to a}\left(f(x)\pm g(x)\right)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$$ $$\lim_{x\to a}\left(f(x)\cdot g(x)\right)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$$ $$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}\qquad(但し, g(x)\ne 0,\lim_{x\to a}g(x)\ne 0とする)$$
この定理の帰結として, $$連続関数たちを四則演算や定数倍で組合わせたものの極限は, 定義域上では代入で計算できる$$ 言い換えれば, $$連続関数たちを四則演算や定数倍で組合わせたものは連続関数$$ である.
p2の例2. $$\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{2}x^2\underset{x=2を代入}{=}\dfrac{1}{2}\cdot 2^2=2$$ $$\lim_{x\to -1}(x+2)(x^2-3)\underset{x=-1を代入}{=}(-1+2)((-1)^2-3)=1\cdot(-2)=-2$$ $$\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2+5x-2}{x^2+4}\underset{x=2を代入}{=}\dfrac{2^2+5\cdot 2-2}{2+4}=\dfrac{12}{6}=2$$
定義 極限の計算において, 単に代入で計算したときに現れることのある $$\dfrac{0}{0}$$ など, 値が定まらない形を不定形という.
講義で扱う関数は連続関数ばかりである. だから極限の計算は, 関数の定義域上では代入するだけで求まる. しかし, 定義域外では話は別である. 不定形$\dfrac{0}{0}$が現れるのは, このような定義域外での話である. 実際, 分母が$0$であるから, この式は意味をなさない(=定義域外).
例. $$\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}\underset{x=1を代入}{=}\dfrac{1^2-1}{1-1}=\dfrac{0}{0}不定形$$ である. この計算は, 正しくは, $$\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1}\underset{因数分解}{=}\lim_{x\to 1}\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1}\underset{約分}{=}\lim_{x\to 1}(x+1)\underset{x=1を代入}{=}2$$ と行う.
極限$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$の計算手順:
1. x=aを関数$f(x)$に代入し$f(a)$を計算
2. 不定形が現れるかどうか判断
3. (i) 不定形が現れなければ$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
(ii) 不定形が現れれば関数$f(x)$を変形して1に戻る.
上の3-(ii)での変形には, $$因数分解, 式展開, 通分, 約分, 有理化$$ などがある. さらに, 講義の後半には, 微分を用いた変形による計算法(ロピタルの定理)を学ぶ.
(1) $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2+x-6}{x^2-4}=?$ (2) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{x-2}\right)=?$
答. (1) $$\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2+x-6}{x^2-4}\underset{x=2を代入}{=}\dfrac{2^2+2-6}{2^2-4}=\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので変形してから極限を計算し直す. 分母も分子も$x=2$を代入したら$0$だから, それぞれ$x-2$で割り切れるはずである. $$\begin{align} &\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2+x-6}{x^2-4} \underset{因数分解}{=}\lim_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\\ \underset{約分}{=}&\lim_{x\to 2}\dfrac{x+3}{x+2}\underset{x=2を代入}{=}\dfrac{2+3}{2+2}=\dfrac{5}{4} \end{align}$$ (2) $$\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{x-2}\right)\underset{x=0を代入}{=}\dfrac{1}{0}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{0-2}\right)=\dfrac{1}{0}\cdot 0不定形$$ この形も不定形である. 変形してから極限を計算し直すと $$\begin{align} &\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{x-2}\right) \underset{通分}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{x}{2(x-2)}\right)\\ \underset{約分}{=}&\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{2(x-2)}\underset{x=0を代入}{=}\dfrac{1}{2(0-2)}=-\dfrac{1}{4} \end{align}$$
(1) $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^3+3x^2-4}{x^3-1}=?$ (2) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sqrt{4+x}-2}=?$
答. (1) $$\lim_{x\to 1}\dfrac{x^3+3x^2-4}{x^3-1}\underset{x=1を代入}{=}\dfrac{1^3+3\cdot 1^2-4}{1^3-1}=\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので変形してから極限を計算し直す. 分母も分子も$x=1$を代入したら$0$だから, それぞれ$x-1$で割り切れるはずである. $$\begin{align} &\lim_{x\to 1}\dfrac{x^3+3x^2-4}{x^3-1}\underset{因数分解}{=}\lim_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(x^2+4x+4)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\ \underset{約分}{=}&\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+4x+4}{x^2+x+1}\underset{x=1を代入}{=}\dfrac{1^2+4\cdot 1+4}{1^2+1+1}=\dfrac{9}{3}=3 \end{align}$$ (2) $$\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sqrt{4+x}-2}\underset{x=0を代入}{=}\dfrac{0}{\sqrt{4+0}-2}=\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので変形してから極限を計算し直す. $$\begin{align} &\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sqrt{4+x}-2} \underset{有理化}{=} \lim_{x\to 0}\dfrac{x(\sqrt{4+x}+2)}{(\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{4+x}+2)}\\ =&\lim_{x\to 0}\dfrac{x(\sqrt{4+x}+2)}{4+x-4} =\lim_{x\to 0}\dfrac{x(\sqrt{4+x}+2)}{x}\\ \underset{約分}{=}&\lim_{x\to 0}(\sqrt{4+x}+2) \underset{x=0を代入}{=}\sqrt{4+0}+2 =\sqrt{4}+2 =2+2 =4 \end{align}$$
(1) $f(x)=x$のとき, $\displaystyle\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}=?$ (2) $f(x)=x^2$のとき, $\displaystyle\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x}=?$
答. (1) $$\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x} \underset{\varDelta x=0を代入}{=}\dfrac{f(x+0)-f(x)}{0} =\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので変形して極限を計算し直すと, $$\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x} =\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{x+\varDelta x-x}{\varDelta x} =\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{\varDelta x}{\varDelta x} \underset{約分}{=}\lim_{\varDelta x\to 0}1 \underset{\varDelta x=0を代入}{=}1$$ (2) $$\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x} \underset{\varDelta x=0を代入}{=}\dfrac{f(x+0)-f(x)}{0} =\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので変形して極限を計算し直すと, $$\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{f(x+\varDelta x)-f(x)}{\varDelta x} =\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{(x+\varDelta x)^2-x^2}{\varDelta x} \underset{式を整理}{=}\lim_{\varDelta x\to 0}\dfrac{2x\varDelta x+(\varDelta x)^2}{\varDelta x} \underset{約分}{=}\lim_{\varDelta x\to 0}(2x+\varDelta x) \underset{\varDelta x=0を代入}{=}2x$$
1. 連続関数 = 定義域上グラフは繋がっている = 定義域上で極限の計算が代入となる
2. 極限の計算は, 基本的には代入で, 不定形が現れるときは変形して代入する.
教科書p3の問1, p9のAの1, Bの1,2, 及び, p19の問1の中から10問以上選択して解きなさい.
定義 変数$x$が限りなく大きく(又は, 限りなく小さく)なっていくとき, $$x\to \infty$$ と書き, $x$は$\infty$に「近づく」とか「発散する」という. 逆に, 変数$x$が限りなく小さくなっていくとき, $$x\to -\infty$$ と書き, $x$は$-\infty$に「近づく」とか「発散する」という. $$\inftyを(正の)無限大,\qquad-\inftyを負の無限大$$ という.
例. $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}\underset{x=\inftyを代入}{=}\dfrac{1}{\infty}=0$$ $$\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{1}{x^2}+2\right)\underset{x=\inftyを代入}{=}\dfrac{1}{\infty^2}+2=0+2=2$$ $$\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}\underset{x=0を代入}{=}\dfrac{1}{0^2}=\infty$$ $$\lim_{x\to\infty}x\underset{x=\inftyを代入}{=}\infty$$
また, $$\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}\qquadや\qquad\pm\infty\cdot 0$$ など無限大を含む不定形が出てくることがある. この場合は, これまで同様, 関数を変形して極限を計算する必要がある.
(1) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x-3}{x+2}=?$ (2) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2^x+3}{2^x-1}=?$
答. (1) $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x-3}{x+2}\underset{x=\inftyを代入}{=}\dfrac{2\infty-3}{\infty+3}=\dfrac{\infty}{\infty}不定形$$ 不定形なので変形して極限を計算し直す. $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x-3}{x+2} \underset{分母分子をxで割る}{=}\lim_{x\to\infty}\dfrac{2-\dfrac{3}{x}}{1+\dfrac{3}{x}} \underset{x=\inftyを代入}{=}\dfrac{2-\dfrac{3}{\infty}}{1+\dfrac{3}{\infty}}=\dfrac{2-0}{1+0}=2$$ (2) $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{2^x+3}{2^x-1}\underset{x=\inftyを代入}{=}\dfrac{2^\infty+3}{2^\infty-1}=\dfrac{\infty+3}{\infty-1}=\dfrac{\infty}{\infty}不定形$$ 不定形なので変形して極限を計算し直す. $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{2^x+3}{2^x-1} \underset{分母分子を2^xで割る}{=}\lim_{x\to\infty}\dfrac{1+\dfrac{3}{2^x}}{1-\dfrac{1}{2^x}} \underset{x=\inftyを代入}{=}\dfrac{1+\dfrac{3}{2^\infty}}{1-\dfrac{1}{2^\infty}}=\dfrac{1+0}{1-0}=1$$
定義 $x\to a$のとき, $x$の$a$への近づき方が, $x$が$a$より小さい方から近づく場合 $$x\nearrow a\qquad又は\qquad x\to a-0$$ と書き, 逆に, $x$が$a$より大きい方から近づく場合 $$x\searrow a\qquad又は\qquad x\to a+0$$ と書く. $x\nearrow a$や$x\searrow a$のときの極限をそれぞれ左極限,右極限という.
定理 連続関数$y=f(x)$の定義域は$a$と$b$の間の領域を含んでいるとし, $$f(a)\ne f(b)$$であるとする. このとき, $f(a)$と$f(b)$の間にある任意の数$r$に対して, $$f(c)=r,\qquad a<{}^\exists c<b$$ が成り立つ.
証明 関数$y=f(x)$は連続なのでそのグラフは繋がっている. だから, 水平線$y=r$と$y=f(x)$のグラフは交点$P$を持つはずである. その交点$P$は関数$y=f(x)$のグラフ上の点だから $$(c,f(c))$$ という形の座標を持ち, また, 水平線$y=r$上の点でもあるから, $$f(c)=r$$ であることがわかる.
中間値の定理の特別な場合として次の形の定理がよく使われる
定理 $f(x)$は区間$[a,b]$上で連続であり, f(a)とf(b)の符号が異なるとする. このとき, 方程式 $$f(x)=0$$ の実数解が$a$と$b$の間に(少なくとも一つ)存在する.
1. 極限に関し, 無限大$\pm\infty$に近づくことや, 近づき方を制約し右極限・左極限を考えることもある.
2. 連続関数について中間値の定理が成り立つ.
教科書p30-32のA,Bの中から10問以上選択して解きなさい.