知識ではなく学びに, 所有ではなく獲得に, そこにいることではなく到達にこそ, 大いなる喜びがもたらされる.
日大工 総合教育 樋口幸治郎
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Wahrlich es ist nicht das Wissen, sondern das Lernen, nicht das Besitzen sondern das Erwerben, nicht das Da-Sein, sondern das Hinkommen, was den größten Genuss gewährt.
知識ではなく学びに, 所有ではなく獲得に, そこにいることではなく到達にこそ, 大いなる喜びがもたらされる.
--- Carl Friedrich Gauss
「Farkas Bolyaiへの手紙」より カール・フリードリッヒ・ガウス
対数微分法, 接線・法線の方程式の求め方を学ぶ(教科書p69-78の範囲). また, 関数や曲線の色々な表示法とその微分の計算法を学ぶ(教科書p78-81).
関数$f(x)$について, $f(x)> 0$のとき, 合成関数の微分公式から $$\left(\log f(x)\right)^\prime=\dfrac{f^\prime(x)}{f(x)}$$ が成り立つ. 両辺に$f(x)$を掛けた形で書けば, $$f^\prime(x)=f(x)\left(\log f(x)\right)^\prime$$ とも書ける. これらの等式を用いて微分を計算する方法を対数微分法という.
(1) 対数が, 積・商を, 和・差に変えることを使って, 微分の計算を簡単にする例.
$\dfrac{(x+1)^3(x+2)^2}{(x+3)^4}$の微分を対数微分法で計算する. $$\begin{align} \underset{対数法則}{\Longrightarrow} & \log \dfrac{(x+1)^3(x+2)^2}{(x+3)^4} = 3\log (x+1)+2\log(x+2)-4\log(x+3)\\ \underset{微分}{\Longrightarrow} & \left( \log \dfrac{(x+1)^3(x+2)^2}{(x+3)^4} \right)^\prime = \Big(3\log (x+1)+2\log(x+2)-4\log(x+3)\Big)^\prime\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow} & \dfrac{\left(\dfrac{(x+1)^3(x+2)^2}{(x+3)^4}\right)^\prime}{\left(\dfrac{(x+1)^3(x+2)^2}{(x+3)^4}\right)} = \dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{4}{x+3}\\ \underset{式変形}{\Longrightarrow} & \left(\dfrac{(x+1)^3(x+2)^2}{(x+3)^4}\right)^\prime = \dfrac{(x+1)^3(x+2)^2}{(x+3)^4}\left( \dfrac{3}{x+1}+\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{4}{x+3}\right)\\ \end{align}$$
(2) 冪$a^b$は, 底を変数とすれば冪関数$x^a$, 指数を変数とすれば指数関数$a^x$であった. これらの微分の公式は既に学んだ. ここでは, どっちも変数にしたもの$x^x$ (名前なし) の微分を対数微分法を使って求めよう.
$$\begin{align} \underset{対数法則}{\Longrightarrow} & \log x^x = x \log x\\ \underset{微分}{\Longrightarrow} & \left( \log x^x \right)^\prime = ( x \log x )^\prime\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow} & \dfrac{(x^x)^\prime}{x^x} = \log x + 1\\ \underset{式変形}{\Longrightarrow} & (x^x)^\prime = x^x(\log x + 1)\\ \end{align}$$
点$(a,b)$を通る傾き$t$の直線の式は $$y=t(x-a)+b$$ であった.
関数$y=f(x)$について, グラフ上の点$(a,f(a))$での接線の傾きは $$微分係数f^\prime(a)$$ である. よって, 直線の式を考えると, $$接線の方程式 y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)$$
$f(x)=x^3-4x$上の点$(1,-3)$での接線の方程式は?
答 $f^\prime(x)=3x^2-4$であるから, 点$(a,f(a))=(1,-3)$での接線の方程式は $$y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)=-(x-1)-3=-x-2$$
定義 グラフ上の点$P$を通る直線が, その点$P$での接線に垂直であるとき $$法線$$ であるという.
関数$y=f(x)$のグラフ上の点$P(a,f(a))$の法線の傾きを考えてみる. まず, 接線の傾きは$f^\prime(a)$で, これはx軸方向の増分$\varDelta x$とy軸方向の増分$\varDelta y$を用いて $$接線の傾き f^\prime(a)=\dfrac{\varDelta y}{\varDelta x}$$ と表される. 法線は接線を$90^\circ$回転させた線であるから, その傾きは先の$\varDelta x$と$\varDelta y$を用いて$-\dfrac{\varDelta x}{\varDelta y}$と表される. これを$f^\prime(a)$を用いて表せば $$法線の傾き -\dfrac{\varDelta x}{\varDelta y}=-\dfrac{1}{f^\prime(a)}$$ である.
定理 関数$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,f(a))$での法線の方程式は, $(a,f(a))$を通る傾き$-\dfrac{1}{f^\prime(a)}$の直線であるから $$法線の方程式 y=-\dfrac{1}{f^\prime(a)}(x-a)+f(a)$$ で表される.
関数$f(x)=\dfrac{1}{2}x^4-3x^2$のグラフ上の点$(2,-4)$での法線の方程式は?
答. $f^\prime(x)=2x^3-6x$であるから, 求める法線は点$(2,-4)$を通る傾き$-\dfrac{1}{f^\prime(2)}=-\dfrac{1}{4}$の直線であるから $$法線の方程式 y=-\dfrac{1}{4}(x-2)-4=-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{7}{2}$$ である.
1. 対数法則や対数の微分を利用して, $f^\prime(x)$を求める方法を対数微分法という.
2. 接線の方程式 $y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)$
3. 法線の方程式 $y=-\dfrac{1}{f^\prime(a)}(x-a)+f(a)$
教科書p82-83のAの1-4, Bの1-4の問題の中から4問以上解きなさい.
数$x$に対して, 数$y$を対応させる規則を関数といった. また, 関数は座標平面上にそのグラフとして曲線を描く. このような関数や曲線は, 通常, 式を用いて表すことができ, $$y=f(x)$$ という形で表される. このような関数や曲線の表示を $$陽関数表示$$ という.
関数や曲線の表示法は陽関数表示だけではない. 今回は別の二つの表示 $$媒介変数表示\qquad 陰関数表示$$ を学び, その微分(=接線の傾き)の計算法を学ぶ.
陽関数表示$y=f(x)$の特徴は, 式$f(x)$を用いることで, $x$に対応する$y$の値が直ぐにはっきり分かることにある.
定義 変数$x$と変数$y$の関係を, 別の変数$t$に仲介(=媒介)させて表すことを $$媒介変数表示$$ という. このとき, $$tを媒介変数, または, パラメーター$$ という. 媒介変数表示は $$\begin{cases} x=f(t)\\ y=g(t) \end{cases}$$ という形で, 二つの陽関数表示によって, $x$と$y$の依存関係を間接的に表す.
陽関数表示よりも先に曲線の形が分かっていて, さらに, その曲線の描き方が容易に表せる場合, 媒介変数表示を用いて表すことが多い.
例
三角関数はまだ講義でちゃんと取り扱ってないが,
媒介変数表示が強みを発揮するのは,
三角関数表示するような場合であるので,
ここでは未学習の三角関数を用いた例を挙げる.
1. 原点中心の半径$r$の円は, 点$(r,0)$から反時計回りに描いていくことを考えて
$$\begin{cases}
x=r\cos t\\
y=r\sin t
\end{cases}$$
と媒介変数表示できる.
2. $x$軸と$y$軸に二つの径$2a,2b$を持つ原点中心の惰円は,
点$(a,0)$から反時計回りに描いていくことを考えて
$$\begin{cases}
x=a\cos t\\
y=b\sin t
\end{cases}$$
と媒介変数表示できる.
定理 媒介変数表示$\begin{cases}x=f(t)\\ y=g(t)\end{cases}$に対し, 微分$y^\prime=\dfrac{dy}{dx}$は $$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{g^\prime(t)}{f^\prime(t)}$$ で表される.
証明 $x=f(t)$より, $$f^{-1}(x)=t$$ であり, よって $$y=g(t)=g(f^{-1}(x))$$ と表される. 従って, $$\begin{align} \dfrac{dy}{dx}=&\dfrac{d}{dx}g(f^{-1}(x))\\ \underset{合成の微分}{=}&g^\prime(f^{-1}(x))\cdot \left(f^{-1}(x)\right)^\prime\\ =&g^\prime(t)\cdot\dfrac{1}{f^\prime(t)}\\ =&\dfrac{g^\prime(t)}{f^\prime(t)} \end{align}$$
p80問1(1) $\begin{cases}x=t-1\\ y=t^2-2\end{cases}$とする. $\dfrac{dy}{dx}=?$
答. $$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{(t^2-2)^\prime}{(t-1)^\prime}=2t$$ である. $t$を消去した形で書くならば, $x=t-1$より$t=x+1$なので, $$\dfrac{dy}{dx}=2t=2(x+1)$$
定義 変数$x$と変数$y$の関係を, $$F(x,y)=0\quad または\quad F(x,y)=G(x,y)$$ といった形で表すことを $$陰関数表示$$ という.
例
1. 原点中心の半径$r$の円は, 原点からの距離が$r$となる点$(x,y)$たちから構成されるから,
三平方の定理から
$$x^2+y^2=r^2$$
と陰関数表示できる.
2. $x$軸と$y$軸に二つの径$2a,2b$を持つ原点中心の惰円上の点$(x,y)$は,
$x$軸方向に$\dfrac{1}{a}$倍, $y$軸方向に$\dfrac{1}{b}$倍すれば,
半径1の円に乗るはずだから
$$\left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=1$$
と陰関数表示できる.
陰関数表示の等式を$x$で微分することで, その表示の表す曲線の接線の傾きを求めることができる.
p80例題1 陰関数表示$2x^2+3xy-y^2-2=0$について$y^\prime=\dfrac{dy}{dx}=?$
答. $$\begin{align} &2x^2+3xy-y^2-2=0\\ \underset{微分}{\Longrightarrow}&(2x^2+3xy-y^2-2)^\prime=0^\prime\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow}&4x^2+3(xy)^\prime-(y^2)^\prime=0\\ \underset{積・合成の微分}{\Longrightarrow}&4x^2+3(x^\prime y+xy^\prime)-2y\cdot y^\prime=0\\ \underset{式変形}{\Longrightarrow}&(3x-2y)y^\prime=-4x^2-3y\\ \underset{式変形}{\Longrightarrow}&y^\prime=\dfrac{-4x^2-3y}{3x-2y}\\ \end{align}$$
p81例題2 楕円の陰関数表示$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$について, 点$P(x_1,y_1)$における接線の方程式は?
答. まず, 微分$y^\prime=\dfrac{dy}{dx}$を計算する. $$\begin{align} &\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\\ \underset{微分}{\Longrightarrow}&\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)^\prime=1^\prime\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow}&\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{(y^2)^\prime}{b^2}=0\\ \underset{合成の微分}{\Longrightarrow}&\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2y\cdot y^\prime}{b^2}=0\\ \underset{式変形}{\Longrightarrow}&\dfrac{y}{b^2}y^\prime=-\dfrac{x}{a^2}\\ \underset{式変形}{\Longrightarrow}&y^\prime=-\dfrac{\left(\dfrac{x}{a^2}\right)}{\left(\dfrac{y}{b^2}\right)}\\ \end{align}$$ 従って, 点$P(x_1,y_1)$における接線の方程式は $$y=-\dfrac{\left(\dfrac{x_1}{a^2}\right)}{\left(\dfrac{y_1}{b^2}\right)}(x-x_1)+y_1$$ これを式変形して単純な陰関数表示を与えよう. $$\begin{align} &y=-\dfrac{\left(\dfrac{x_1}{a^2}\right)}{\left(\dfrac{y_1}{b^2}\right)}(x-x_1)+y_1\\ \underset{式変形}{\Longrightarrow}&y-y_1=-\dfrac{\left(\dfrac{x_1}{a^2}\right)}{\left(\dfrac{y_1}{b^2}\right)}(x-x_1)\\ \underset{式変形}{\Longrightarrow}&\dfrac{y_1}{b^2}(y-y_1)=-\dfrac{x_1}{a^2}(x-x_1)\\ \underset{式変形}{\Longrightarrow}&\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}= \dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}\\ \end{align}$$ $(x_1,y_1)$は楕円上の点だから右辺の値は1. 故に $$\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1$$
1. 媒介変数表示$\begin{cases}x=f(t)\\ y=g(t)\end{cases}$の微分は$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{g^\prime(t)}{f^\prime(t)}$
2. 陰関数表示$F(x,y)=0$の微分$y^\prime$は, $F^\prime(x,y)=0$を$y^\prime$について解けば良い.
教科書p82-83のAの5-9, Bの5-7から2問以上選択して解きなさい.