幾つかの三角関数の公式を導き,
三角関数の変形の練習をする.
また, $\sin x,\cos x$の微分公式の別証明を与え,
それ以外の三角関数の微分公式を導き, 計算の練習をする(p48-52,129).
- 加法定理(復習)
$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$
$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$
- 倍角の公式(復習)
$\sin 2x=2\sin x\cos x$
$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$
系(p129)
$\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\sin 2x$
半角の公式 $\sin^2x=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2x)\qquad \cos^2x=\dfrac{1}{2}(1+\cos 2x)$
- 積和公式(p129)
定理
$\sin x\cos y=\dfrac{1}{2}\Big(\sin(x+y)+\sin(x-y)\Big)$
$\sin x\sin y=-\dfrac{1}{2}\Big(\cos(x+y)-\cos(x-y)\Big)$
$\cos x\cos y=\dfrac{1}{2}\Big(\cos(x+y)+\cos(x-y)\Big)$
証明.
正弦の加法定理
$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\qquad\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$$
について,
両辺の和を取れば
$$\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin x\cos y$$
が成り立つ. 両辺を2で割り, 両辺を入れ替えれば第1の公式が得られる.
同様に, 余弦の加法定理
$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\qquad\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$$
について, 両辺の差を取ることで第2の公式が導かれ,
両辺の和を取れば第3の公式が導かれる.
- 三角多項式
定義
定数$a_0,a_1,b_1,\cdots,a_n,b_n$に対し,
$$f(x)=a_0+a_1\cos x+b_1\sin x+a_2\cos 2x+b_2\sin 2x+\cdots a_n\cos nx+b_n\sin nx$$
という形の関数を三角多項式という.
- 三角多項式への変形
「積分」では三角関数の積を三角多項式に変形して計算することがある.
(p129例題1を参照) 次を三角多項式で表しなさい.
(1) $\sin x\cos x$
(2) $\sin^2 x$
(3) $\sin 3x\cos 2x$
答.
(1)
$$\sin x\cos x\underset{倍角の公式}{=}\dfrac{1}{2}\sin 2x$$
(2)
$$\sin^2 x\underset{半角の公式}{=}\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos 2x$$
(3)
$$\sin 3x\cos 2x\underset{積和公式}{=}\dfrac{1}{2}\sin 5x+\dfrac{1}{2}\sin x$$
- 扇の面積
定理
半径$r$の円を角度$\theta$ ($0\le \theta\le 2\pi$)で切った扇の面積は$\dfrac{1}{2}\theta r^2=\dfrac{1}{2}(\theta r)r$である.
証明.
面積$=$(円の面積)$\times$($\theta$と一回転との比)$=\pi r^2\times\dfrac{\theta}{2\pi}=\dfrac{1}{2}r^2\theta$
- 三角関数の不等式
定理
$0< x<\dfrac{\pi}{2}$のとき,
$$\cos x< \dfrac{\sin x}{x}< 1$$
が成り立つ.
証明.
図のように単位円周上で角度$0$,$x$の点をX,Pとし,
OPを延長して, Xを通る垂線との交点をQとする.
面積の比較により,
$$\triangle{\rm OXP}<{\rm 扇OXP}<\triangle{\rm OXQ}$$
であるから,
$\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot \sin x<\dfrac{1}{2}\cdot x\cdot 1^2<\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x}$
が成り立つ.
これから
$$\sin x< x< \dfrac{\sin x}{\cos x}$$
が分かる.
左の不等式から$\dfrac{\sin x}{x}<1$が得られ,
右の不等式から$\cos x<\dfrac{\sin x}{x}$が得られるので,
定理の不等式が成立する.
系
$x\ne 0$が$-\dfrac{\pi}{2}< x<\dfrac{\pi}{2}$のとき,
$$\cos x< \dfrac{\sin x}{x}< 1$$
が成り立つ.
従って,
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$
証明.
$-\dfrac{\pi}{2}<x<$のときを考える.
このとき$0<-x<\dfrac{\pi}{2}$だから先の定理より
$$\cos(-x)< \dfrac{\sin(-x)}{-x}< 1$$
であるが, $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(-x)=-\sin x$より,
$$\cos x< \dfrac{\sin x}{x}< 1$$
が得られる.
$\cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1$が成り立つことが分かったが,
最左辺, 最右辺の$x\to 0$での極限は共に$1$なので,
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$
が成り立つ.
- 今回の要点
1. 三角関数の色々な公式を使うと, 三角関数についての式を三角多項式に変形できる.
2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
- 課題
教科書p129の問1の(1)-(3)の被積分関数を三角多項式で表しなさい.
- 三角関数の微分の別証明
定理
$(\sin x)^\prime=\cos x$
$(\cos x)^\prime=-\sin x$
証明.
$$\begin{align}
&\big(\sin x\big)^\prime\\
\underset{微分の定義}{=}&\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\
\underset{加法定理}{=}&
\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\
\underset{極限を分解}{=}&
-\sin x\cdot\lim_{h\to 0}\dfrac{1-\cos h}{h}+\cos x\cdot\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}\\
\underset{半角の公式}{=}&-\sin x\cdot \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin^2\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}+\cos x\cdot\lim_{ h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}\\
\underset{変形}{=}&-\sin x\cdot \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}\cdot \lim_{h\to 0}\sin\dfrac{h}{2}+\cos x\cdot\lim_{ h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}\\
\underset{極限計算}{=}&-\sin x\cdot 1\cdot 0+\cos x\cdot 1\\
=&\cos x
\end{align}$$
$$\begin{align}
&\big(\cos x\big)^\prime\\
=&\big(\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\big)^\prime\\
\underset{合成の微分}{=}&\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\cdot (-1)\\
\underset{変形}{=}&-\sin x
\end{align}$$
- 色々な三角関数の微分
p49(3.3)
$(\tan x)^\prime=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^\prime=?$
(3.4)
$(\cot x)^\prime=\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime=?$
答
$$\begin{align}
\big(\tan x\big)^\prime
&=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^\prime\\
&\underset{商の微分}{=}\dfrac{(\sin x)^\prime\cos x-\sin x(\cos x)^\prime}{\cos^2 x}\\
&=\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}\\
&\underset{三角関数の公式}{=}\dfrac{1}{\cos^2 x}\\
\end{align}$$
$$\begin{align}
\big(\cot x\big)^\prime
&=\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime\\
&\underset{商の微分}{=}\dfrac{(\cos x)^\prime\sin x-\cos x(\sin x)^\prime}{\sin^2 x}\\
&=-\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\sin^2 x}\\
&\underset{三角関数の公式}{=}-\dfrac{1}{\sin^2 x}\\
\end{align}$$
p49例3.
(1) $(\tan 5x)^\prime=?$
(2) $(\cot 3x)^\prime=?$
(3) $(\tan(x^2+1))^\prime=?$
答
$$(\tan 5x)^\prime\underset{合成の微分}{=}\dfrac{1}{\cos^2 x}\cdot(5x)^\prime=\dfrac{5}{\cos^2x}$$
$$(\cot 3x)^\prime\underset{合成の微分}{=}-\dfrac{1}{\sin^2 x}\cdot(3x)^\prime=-\dfrac{3}{\sin^2x}$$
$$(\tan(x^2+1))^\prime\underset{合成の微分}{=}\dfrac{1}{\cos^2(x^2+1)}\cdot(x^2+1)^\prime=\dfrac{2x}{\cos^2(x^2+1)}$$
p50例題1と問5.
$(\sec x)^\prime=\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime=?$
$(\csc x)^\prime=\left(\dfrac{1}{\sin x}\right)^\prime=?$
答
$$\begin{align}
\big(\sec x\big)^\prime
&=\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime\\
&\underset{逆数の微分}{=}-\dfrac{(\cos x)^\prime}{\cos^2 x}\\
&=\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\big(\csc x\big)^\prime
&=\left(\dfrac{1}{\sin x}\right)^\prime\\
&\underset{逆数の微分}{=}-\dfrac{(\sin x)^\prime}{\sin^2 x}\\
&=-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}
\end{align}$$
- 今回の要点
1. $(\sin x)^\prime=\cos x$
$(\cos x)^\prime=-\sin x$
$(\tan x)^\prime=\dfrac{1}{\cos^2 x}\left(=\sec^2x\right)$
2. その他の三角関数の微分は商・逆数の微分公式から求まる.
- 課題
教科書p50-52のAの2-7, 及び, Bの2-7の中から10問以上解きなさい.
