日大工　総合教育　樋口幸治郎

工科系数学I及び演習(2017年度後期)

第15回　これまでのまとめ　＆　第16回　中間テスト

Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinaufgestiegen ist.
言うなれば, 登りきった後には梯子を捨て去らなければならない.

--- Tractatus logico-philosophisuc Ludwig Wittgenstein
「論理哲学論考」より, ルートヴィッヒ・ヴィトゲンシュタイン

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これまでのまとめ

• 微分　$\displaystyle f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$の公式

以下において$a$は定数, $f,g$は微分可能関数とする.

• 冪関数　$(x^a)^\prime=ax^{a-1}$
• 指数関数　$(e^x)^\prime=e^x\qquad (a^x)^\prime=a^x\log a$
• 対数関数　$(\log x)^\prime=\dfrac{1}{x}\qquad (\log_a x)^\prime=\dfrac{1}{x\log a}$
• 合成　$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x)) g(x)$
• 積　$(fg)^\prime=f^\prime g+ fg^\prime$
• 商　$\left(\dfrac{f}{g}\right)^\prime=\dfrac{f^\prime g- fg^\prime}{g^2}$
• 対数微分法　$(\log f)^\prime=\dfrac{f^\prime}{f}$
• 高次導関数$f^{(n)}(x)=$「$f(x)$を$n$回微分したもの」
• 微分の応用
• 点$(a,f(a)$での接線の方程式 $y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)$
• 点$(a,f(a)$での法線の方程式 $y=-\dfrac{1}{f^\prime(a)}(x-a)+f(a)$
• 媒介変数表示$\begin{cases} x=f(t)\\ y=g(t)\end{cases}$の微分 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{g^\prime(t)}{f^\prime(t)}$
• 陰関数表示$F(x,y)=0$の微分は等式$F^\prime(x,y)=0$から求める
• 冪級数展開 $f(x)=\sum^\infty_{n=0}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
• その他に学んだこと

本講義のメインは「微分」であるが, 補助的に以下のことも学んだ.

• 連続 $\displaystyle f(a)=\lim_{x\to a}f(x)$な関数の性質

$定義域上, グラフに飛びがなく, 繋がっている.$
$中間値の定理:\ rがf(a),f(b)の間の数 \Longrightarrow f(c)=r\ (a<{}^\exists c< b)$
$微分可能\Longrightarrow 連続$

• 極限 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ の計算手順

1. x=aを関数$f(x)$に代入し$f(a)$を計算
2. 不定形が現れるかどうか判断
3. (i) 不定形が現れなければ$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
 (ii) 不定形が現れれば関数$f(x)$を変形して1に戻る.

• 逆関数$f^{-1}(x)=「f(y)=xとなるy」$の公式

$y=f(x)\quad\overset{移行}{\iff}\quad f^{-1}(y)=x$
$約分の公式\ f(f^{-1}(x))=x\quad f^{-1}(f(x))=x$


• 指数法則

$a^xa^y=a^{x+y}$
$(a^x)^y=a^{xy}$
$(ab)^x=a^xb^x$

• 対数法則

$\log_a xy=\log_a x+\log_a y\qquad \log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_ay$
$\log_a x^y=y\log_ax$
$\log_b x=\dfrac{\log_ax}{\log_ab}\quad (底の変換公式)$

中間試験の範囲

上記のまとめの微分の箇所が範囲である. (但し, 以下の項目は除く: 媒介変数表示, 陰関数表示, 冪級数展開)

中間試験勉強用プリント
解答