日大工 総合教育 樋口幸治郎
ホーム | 教室 | 研究室 |
---|---|---|
工科系数学I及び演習 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ロビタルの定理を学び, それを使って極限の計算を練習する(教科書p200-206).
$f(x)$が連続関数の組み合わせであるとき, 極限$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$の計算手順は:
1. x=aを関数$f(x)$に代入し$f(a)$を計算
2. 不定形が現れるかどうか判断
3. (i) 不定形が現れなければ$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
(ii) 不定形が現れれば関数$f(x)$を変形して1に戻る.
3(ii)の変形で, これまでは因数分解, 有理化などの変形を考えたが, 今回, 微分を用いた変形での計算方法を学ぶ.
定理(p200) $a<b$とする. 微分可能関数$f(x),g(x)$について $$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}\qquad(a<{}^\exists c<b)$$ が成り立つ. 但し$g^\prime(x)\ne 0$ ($a<x<b$), $g(b)\ne g(a)$とする.
証明. 関数$F(x)$を $$F(x)=f(x)-\left(\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))+f(a)\right)$$ と置く. すると, $$F(a)=F(b)=0$$ が簡単な計算で確かめられる. ロルの定理により $$F^\prime(c)=f^\prime(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g^\prime(c)=0\qquad(a<{}^\exists c<b)$$ が成り立つ. 式変形すれば $$\dfrac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$ である.
定理(p201) 微分可能関数$f(x),g(x)$について, $$\dfrac{f(a)}{g(a)}=\dfrac{0}{0}\quad(不定形)\quad\Longrightarrow\quad\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$
証明 コーシーの平均値の定理から $$\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}\qquad({}^\exists cはaとxの間の数)$$ が成り立つ. $x\to a$ならば$c\to a$なので, $$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$$ となる.
注意 $$ロピタルの定理は不定形が現れたときのみ使える.$$ 例えば $$\lim_{x\to 1}\dfrac{x+8}{x+3}\underset{x=1を代入}{=}\dfrac{9}{4}$$ であり, 不定形が現れないのに, $$\lim_{x\to 1}\dfrac{x+8}{x+3}\underset{分母・分子を微分}{=}\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{1}=1$$ という計算は誤りである.
(1) $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{2x^2-x-6}{x^3-8}=?$ (2) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-e^{-x}}{\sin x}=?$
答. (1) $$\lim_{x\to 2}\dfrac{2x^2-x-6}{x^3-8}\underset{x=2を代入}{=}\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\to 2}\dfrac{2x^2-x-6}{x^3-8}\underset{分母・分子を微分}{=} \lim_{x\to 2}\dfrac{4x-1}{3x^2}\underset{x=2を代入}{=}\dfrac{7}{12}$$ (2) $$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-e^{-x}}{\sin x}\underset{x=0を代入}{=}\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-e^{-x}}{\sin x}\underset{分母・分子を微分}{=} \lim_{x\to 0}\dfrac{e^x+e^{-x}}{\cos x}\underset{x=0を代入}{=}2$$
実はロピタルの定理は$\dfrac{0}{0}$の形の不定形でなくても, $$\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$$ の場合にも, 適用することができる. また, 考えている極限$\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$の変数$x$の近く値は$\pm\infty$のときも適用することができることが知られている.
p202例題2. (1) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x^2}=?$ (2) $\displaystyle\lim_{x\searrow 0}\dfrac{\log x}{e^{\frac{1}{x}}}=?$
答. (1) $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x^2}\underset{x=\inftyを代入}{=}\dfrac{\infty}{\infty}不定形$$ 不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log x}{x^2}\underset{分母・分子を微分}{=} \lim_{x\to \infty}\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)}{2x}\underset{x=\inftyを代入}{=}\dfrac{1}{\infty}=0$$ (2) $$\lim_{x\searrow 0}\dfrac{\log x}{e^{\frac{1}{x}}}\underset{x=+0を代入}{=}\dfrac{-\infty}{\infty}不定形$$ 不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\searrow 0}\dfrac{\log x}{e^{\frac{1}{x}}}\underset{分母・分子を微分}{=} \lim_{x\searrow 0}\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)}{\left(-\dfrac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}\right)}\underset{x=+0を代入}{=}-\dfrac{0}{\infty}=0$$
p202例題3. (1) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^2}=?$ (2) $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^2}{e^x}=?$
答. (1) $$\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^2}\underset{x=0を代入}{=}\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^2}\underset{分母・分子を微分}{=} \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{2x}\underset{x=0を代入}{=}\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので, もう一度ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^2}\underset{分母・分子を2回微分}{=} \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{2}\underset{x=0を代入}{=}\dfrac{0}{2}=0$$ (2) $$\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^2}{e^x}\underset{x=\inftyを代入}{=}\dfrac{\infty}{\infty}不定形$$ 不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^2}{e^x}\underset{分母・分子を微分}{=} \lim_{x\to \infty}\dfrac{2x}{e^x}\underset{x=\inftyを代入}{=}\dfrac{\infty}{\infty}不定形$$ 不定形なので, もう一度ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^2}{e^x}\underset{分母・分子を2回微分}{=} \lim_{x\to \infty}\dfrac{2}{e^x}\underset{x=\inftyを代入}{=}\dfrac{2}{\infty}=0$$
極限の計算で不定形が現れるとき, 分母・分子を微分して極限を計算する方法をロピタルの定理という.
p205-206のAの1-4, Bの1,2の中から4問以上解きなさい.
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} =\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x}{1} =\lim_{x\to 0}\cos x =\cos 0 =1$$
p47例題1 (1) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x}{x}=?$ (2) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=?$ (3) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=?$
答.
教科書とは異なる方法で計算する.
(1)
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x}{x}
\underset{x=0を代入}{=}\dfrac{0}{0}不定形$$
不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す.
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x}{x}
\underset{分母・分子を微分}{=}
\lim_{x\to 0}2\cos 2x\underset{x=0を代入}{=}2$$
(2)
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}
\underset{x=0を代入}{=}\dfrac{0}{0}不定形$$
不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す.
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}
\underset{分母・分子を微分}{=}
\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\cos^2 x}\underset{x=0を代入}{=}1$$
(3)
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}
\underset{x=0を代入}{=}\dfrac{0}{0}不定形$$
不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す.
$$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x}
\underset{分母・分子を微分}{=}
\lim_{x\to 0}\sin x\underset{x=0を代入}{=}0$$
p47例題2. $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{2x-\pi}{\cos x}=?$
答. 教科書とは異なる方法で計算する. $$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{2x-\pi}{\cos x} \underset{x=\frac{\pi}{2}を代入}{=}\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{2x-\pi}{\cos x} \underset{分母・分子を微分}{=} \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{2}{-\sin x} \underset{x=\frac{\pi}{2}を代入}{=}-2$$
p64演習問題Bの5 (1) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x}{x}=?$ (2) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\arctan 2x}{3x}=?$ (3) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2\arctan x)}{x}=?$
答. (1) $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x}{x} \underset{x=0を代入}{=}\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x}{x} \underset{分母・分子を微分}{=} \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \underset{x=0を代入}{=}1$$ (2) $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arctan 2x}{3x} \underset{x=0を代入}{=}\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arctan 2x}{3x} \underset{分母・分子を微分}{=} \lim_{x\to 0}\dfrac{2}{3(1+4x^2)} \underset{x=0を代入}{=}\dfrac{2}{3}$$ (3) $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2\arctan x)}{x} \underset{x=0を代入}{=}\dfrac{0}{0}不定形$$ 不定形なので, ロピタルの定理で計算し直す. $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2\arctan x)}{x} \underset{分母・分子を微分}{=} \lim_{x\to 0}\dfrac{2\cos(2\arctan x)}{1+x^2} \underset{x=0を代入}{=}2$$
定理 $e=\displaystyle\lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$
証明. 見やすさのため, 関数$e^x$を $$\exp(x)$$ と書く. $$\begin{align} &\lim_{x\to 0}(1+x)^{\dfrac{1}{x}} \underset{約分の公式}{=}\lim_{x\to 0}\exp\left(\log(1+x)^{\dfrac{1}{x}}\right) \underset{\logの性質}{=}\lim_{x\to 0}\exp\left(\dfrac{\log(1+x)}{x}\right)\\ \underset{\expの連続性}{=}&\exp\left(\lim_{x\to 0}\dfrac{\log(1+x)}{x}\right) \underset{ロピタルの定理}{=}\exp\left(\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{1+x}\right) \underset{x=0を代入}{=}\exp(1) =e \end{align}$$
ネピアの数の特徴付けで行ったように, 指数関数$\exp(x)(=e^x)$と対数関数$\log x$を用いて極限を計算すると, 簡単に求まることがある.
定理 指数型の極限 $$\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}$$ について, $f(x)>0$であれば, $$\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=\lim_{x\to a}\exp\left(\log f(x)^{g(x)}\right) =\exp\left(\lim_{x\to a}g(x)\log f(x)\right)$$ と計算することができる.
p65例題1 1. $$\begin{align} &\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x =\exp\left(\lim_{x\to\infty}x\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right) =\exp\left(\lim_{x\to\infty}\dfrac{\log(1+x)-\log x}{\dfrac{1}{x}}\right)\\ \underset{ロピタルの定理}{=}&\exp\left(\lim_{x\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}}\right) =\exp\left(\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{1+x}\right) \underset{ロピタルの定理}{=}\exp\left(\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{1}\right) =e \end{align}$$ 2. $$\begin{align} &\lim_{x\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x =\exp\left(\lim_{x\to -\infty}x\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right) =\exp\left(\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\log(1+x)-\log x}{\dfrac{1}{x}}\right)\\ \underset{ロピタルの定理}{=}&\exp\left(\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}}\right) =\exp\left(\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x}{1+x}\right) \underset{ロピタルの定理}{=}\exp\left(\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{1}\right) =e \end{align}$$
ロピタルの定理を使うことで色々な極限が簡単に計算できる.
教科書p9-10のAの1, Bの1の中から4問以上解きなさい.