人は, 他人よりも自分自身で見出した理屈によって納得するものだ.
日大工 総合教育 樋口幸治郎
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Les gens sont généralement mieux convaincus par les raisons qu’ils ont eux-mêmes découvert que par ceux qui sont venus pour l’esprit des autres.
人は, 他人よりも自分自身で見出した理屈によって納得するものだ.
---Pensées Braise Pascal
「パンセ(思想)」より, ブレーズ・パスカル
度数法と弧度法と一般角, 三角関数について学ぶ(教科書範囲外). オイラーの公式と三角関数の微分, 加法定理を学ぶ(教科書p48-49).
二つの線分のなす角(かど)の大きさを考える場合であれば, $0^\circ$から$180^\circ$, 或いは, 多くとも$360^\circ$までの範囲の角度だけで十分事足りる. しかし, 例えば, 回転する物体の運動を考える場合, どのくらい回転したかを表そうとすると, $360^\circ$を超えた角度の回転や, 或いは, 逆回転を負の角度で表すことが自然であると気付くだろう. このように, 回転量として, 通常の$0^\circ$から$360^\circ$の範囲の角度を, 実数全体の角度へと拡張したものを一般角という.
定義 反時計回りを正として, 線分の回転量として考えた角度を一般角という.
定義 1回転を$360^\circ$として角度を表す方法を度数法という. 単位の記号「$^\circ$」は「度」と読む.
度数法は, $1/6$回転を, 60進法に基づいて, さらに細かくした角度を単位としたもので, 我々の生活に根付いているが異国情緒漂う角度の表示法である. $1/6$回転の角度は, コンパスと定規で簡単に書き表せることに注意しよう.
数学では, 度数法よりもこれから定義する弧度法で角度を表すことが多い. 何故か? 弧度法で角度を扱うと, 様々な公式が単純になるからである. (三角関数の微分公式, オイラーの公式, 扇の面積の公式, ハリオットの定理など)
半径$1$の円を単位円という.
定義 角度を $$単位円周上での長さ(=弧の長さ)$$ で表す方法を弧度法という. (但し, 反時計回りを正の長さ, 時計回りを負の長さとする.)
弧度法の単位はラジアン(radian)というが, 省略して書くことが多い. 定義から $$1回転は2\pi$$ $$1ラジアン \fallingdotseq 57.29578^\circ$$
例
$2\pi$ラジアン $=$ 360$^\circ$ (一周の角度)
$\pi$ラジアン $=$ 180$^\circ$ (直線の角度)
$\dfrac{1}{2}\pi$ラジアン $=$ 90$^\circ$ (直角)
$\dfrac{1}{3}\pi$ラジアン $=$ 60$^\circ$
$\dfrac{1}{4}\pi$ラジアン $=$ 45$^\circ$
$\dfrac{1}{6}\pi$ラジアン $=$ 30$^\circ$
$0$ラジアン $=$ 0$^\circ$
定義 直角三角形について, 相似の条件を考えると, $$一つの鋭角\thetaが決まると, 底辺, 高さ, 斜辺の比が決まる.$$ これらの辺の比を三角比という. 底辺, 高さ, 斜辺の長さがそれぞれ$x,y,r$のとき, $$正弦\sin\theta=\dfrac{y}{r}\qquad 余弦\cos\theta=\dfrac{x}{r}\qquad 正接\tan\theta=\dfrac{y}{x}$$ $$正割\sec\theta=\dfrac{r}{x}\qquad 余割\csc\theta=\dfrac{r}{y}\qquad 余接\cot\theta=\dfrac{x}{y}$$ である. よく使うのは$\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$である.
| $\theta=$ | $\ \ 0\ \ $ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
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| $\sin\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | 値なし |
三角比を一般角に拡張して考えたものを三角関数という. 斜辺の長さが1の直角三角形を考えると, $\cos\theta$は底辺の長さ, $\sin\theta$は高さとなる. これを踏まえて, 一般角に対する三角比を以下のように定める.
定義 座標平面において, 原点を中心とする単位円周上で, 一般角$\theta$の点Pの座標がP$(x,y)$であるとき, $$\cos\theta=x,\qquad\sin\theta=y$$ と定義する. また, $$\tan\theta = 「OPの傾き」 =\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ と定める.
例
$\sin\dfrac{\pi}{4}=\sin 45^\circ=\dfrac{1}{2}$,
$\cos\dfrac{\pi}{6}=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,
$\tan-\dfrac{\pi}{3}=\tan -60^\circ=-\sqrt{3}$などが成立する.
$\sin x,\cos x,\tan x$の$n$乗を($n$は自然数), $$\sin^n x,\quad\cos^n x,\quad\tan^n x$$ と書く. しかし, 例えば, $\sin x$の逆数$\dfrac{1}{\sin x}$は$\sin^{-1}x$とは書かない. $\sin^{-1}x$は逆数ではなく逆関数を表す.
定理 $$\cos^2x+\sin^2x=1$$ $$1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$$
証明. 最初の式は三平方の定理から求まる. 第2の式は, 最初の式を$\cos^2x$で割ることで得られる.
1. 一般角とは回転量として角度を考えたもの
2. 角度の単位は弧度法を用いる.
3. 単位円周上の点について, $x$座標が$\cos x$, $y$座標が$\sin x$
定理 $$\sin(-x)=-\sin x\qquad\cos(-x)=\cos x\qquad\tan(-x)=-\tan x$$
証明. 単位円周上において, 角度$x$と角度$-x$の表す点をそれぞれP,Qとする. P,Qのx座標は等しく, y座標は符号が異なり, OP,OQの傾きも符号が異なる. x座標は余弦, y座標は正弦, 傾きは正接であったから $$「Qのy座標 \sin(-x)」=-「Pのy座標\sin x」$$ $$「Qのx座標 \cos(-x)」=「Pのx座標 \cos x」$$ $$「OQの傾き \tan(-x)」=-「OPの傾き \tan x」$$
定理 $$e^{i x}=\cos x+i\sin x$$
証明のアイディア. 冪級数展開を比較すると, 公式が求まる.
定理 $$(\sin x)^\prime=\cos x\qquad(\cos x)^\prime=-\sin x$$
証明 $$\begin{align} \underset{オイラーの公式}{\Longrightarrow}&e^{ix}=\cos x+i\sin x\\ \underset{両辺を微分}{\Longrightarrow}&(e^{ix})^\prime=(\cos x+i\sin x)^\prime\\ \underset{微分計算}{\Longrightarrow}&ie^{ix}=(\cos x)^\prime+i(\sin x)^\prime\\ \underset{オイラーの公式}{\Longrightarrow}&i(\cos x+i\sin x)=(\cos x)^\prime+i(\sin x)^\prime\\ \underset{左辺を変形}{\Longrightarrow}&-\sin x+i\cos x=(\cos x)^\prime+i(\sin x)^\prime\\ \end{align}$$ 両辺の実部と虚部を比較すれば, $$(\sin x)^\prime=\cos x\qquad(\cos x)^\prime=-\sin x$$
p48例1. (1) $(\sin 3x)^\prime=?$
(2) $(\sin(ax+b))^\prime=?$
(3) $(\sin^2x)^\prime=?$
答. (1) $$\begin{align} &(\sin 3x)^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&(\cos 3x)\cdot (3x)^\prime\\ \underset{微分計算}{=}&3\cos 3x\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &(\sin(ax+b))^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&(\cos(ax+b))\cdot (ax+b)^\prime\\ \underset{微分計算}{=}&a\cos(ax+b)\\ \end{align}$$ (3) $$\begin{align} &(\sin^2x)^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&2(\sin x)\cdot (\sin x)^\prime\\ \underset{微分計算}{=}&2\sin x\cos x\\ \end{align}$$
p49例2. (1) $(\cos 4x)^\prime=?$
(2) $(\cos(3x+5))^\prime=?$
答. (1) $$\begin{align} &(\cos 4x)^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&(-\sin 4x)\cdot (4x)^\prime\\ \underset{微分計算}{=}&-4\sin 4x\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &(\cos(3x+5))^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&(-\sin(3x+5))\cdot (3x+5)^\prime\\ \underset{微分計算}{=}&-3\sin(3x+5)\\ \end{align}$$
定理 $$\cos(x+y)+i\sin(x+y)=(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)$$ $$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$$ $$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$$
証明 $$\begin{align} \underset{指数法則}{\Longrightarrow}&e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}\\ \underset{オイラーの公式}{\Longrightarrow}&\cos(x+y)+i\sin(x+y)=(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)\\ \end{align}$$ これで第1式が示された. この式を展開して, $$\begin{align} \cos(x+y)+i\sin(x+y)=&(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)\\ \underset{展開して整理}{=}&(\cos x\cos y-\sin x\sin y)+i(\sin x\cos y+\cos x\sin y)\\ \end{align}$$ 両辺の実部と虚部を比較すれば第2,3の式が得られる. (さらに$y$を$-y$で置き換え, 等式$\cos(-y)=\cos y$, $\sin(-y)=-\sin y$を用いれば, もう一つの第2,3の式が得られる.)
$\sin 2x$を$\sin x$や$\cos x$を用いて表しなさい.
答. $$\begin{align} &\sin 2x\\ =&\sin(x+x)\\ \underset{加法定理}{=}&\sin x\cos x+\cos x\sin x\\ \underset{まとめる}{=}&2\sin x\cos x\\ \end{align}$$
$\cos 2x$を$\sin x$や$\cos x$を用いて表しなさい.
答. $$\begin{align} &\cos 2x\\ =&\cos(x+x)\\ \underset{加法定理}{=}&\cos x\cos x-\sin x\sin x\\ \underset{まとめる}{=}&\cos^2 x-\sin^2 x\\ \end{align}$$ 最後の式は$\sin^2x+\cos^2x=1$を使って, $$2\cos^2 x-1\qquad 1-2\sin^2x$$ と書き表すこともできる.
等式$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$を示しなさい.
答. $$\begin{align} &\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\\ \underset{加法定理}{=}&\sin\dfrac{\pi}{2}\cos x-\cos\dfrac{\pi}{2}\sin x\\ \underset{三角関数の計算}{=}&1\cdot \cos x-0\cdot \sin x\\ \underset{整理}{=}&\cos x\\ \end{align}$$
等式$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$を示しなさい.
答. $$\begin{align} &\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\\ \underset{加法定理}{=}&\cos\dfrac{\pi}{2}\cos x+\sin\dfrac{\pi}{2}\sin x\\ \underset{三角関数の計算}{=}&0\cdot \cos x+1\cdot \sin x\\ \underset{整理}{=}&\sin x\\ \end{align}$$
1. オイラーの公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$
2. 三角関数の微分 $(\sin x)^\prime=\cos x\qquad (\cos x)^\prime=-\sin x$
3. 加法定理 $\cos(x+y)+i\sin(x+y)=(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)$
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
p48の問1から4問以上, p49の問2から4問以上選択して解きなさい.