日大工 総合教育 樋口幸治郎
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これで注意は削がれまい.
--- Leonhard Euler
レオンハルト・オイラーの失明時の言葉
(H. Eves著 Mathematical Circlesより)
今回の主な内容は, 指数関数と対数関数を学ぶことである. 特に指数法則や対数法則を詳しく学ぶ(教科書p41,p65-66).
今回学ぶ指数関数は, 微分学において, 最も重要な関数である. 対数関数は指数関数の逆関数として導入される.
微分とは変化率のことであったが, $$ある時点での変化率がその時点での値に比例する$$ という性質が今回学ぶ指数関数を特徴付ける. このような状況は, ある生物の個体数や放射性崩壊していく物質の量など, 身近に見出される. だから, 指数関数は思っている以上に我々にとって身近な関数なのである.
定義 $a^b$を$a$の$b$乗と読み, 底$a$, 指数$b$の冪とも言う. $$冪=底^{指数}$$
定義 冪について $$底を変数とした関数x^aを冪関数$$ といい, $$指数を変数とした関数a^xを指数関数\quad(但しa\ge 0とする)$$ という.
定理 冪について, 次の三つの等式 $$a^xa^y=a^{x+y}$$ $$(a^x)^y=a^{xy}$$ $$(ab)^x=a^xb^x$$ が成り立つ.
上の三つの指数法則について, $$冪a^bを「bが成り立てばaが成り立つ」$$ $$和a+bを「aが成り立つ, または, bが成り立つ」$$ $$積abを「aが成り立つ, かつ, bが成り立つ」$$と読んでみよう. このような主張の真偽の解釈のもとで, 三つの指数法則がやはり正しいことが分かる. このような真偽と演算の仕組みは, 19世紀にGeorge Booleの研究が有名で, 真偽に関する代数は, ブール代数と呼ばれている.
指数が自然数$b$のとき, $$\begin{align} a^b&=「aをb回掛けた数」\\ &=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{b個} \end{align}$$ であった.
指数が自然数のとき, 指数法則の成立は $$a^xa^y=「aをx回掛けた数」\times「aをy回掛けた数」=「aをx+y回掛けた数」=a^{x+y}$$ $$(a^x)^y=「「aをx回掛けた数」をy回掛けた数」=「aをxy回掛けた数」=a^{xy}$$ $$(ab)^x=「(ab)をx回掛けた数」=「aをx回掛けた数」\times「bをx回掛けた数」=a^xb^x$$ と明らかである.
指数法則から$a^0a^1=a^{0+1}=a^1$なので, 両辺を$a=a^1$で割り $$a^0=1$$ が分かる.
指数法則から$(a^{\frac{1}{n}})^n=a^{\frac{1}{n}\cdot n}=a$なので, $$\begin{align} a^{\frac{1}{n}}&=「n乗がaとなる数」\\ &=「aのn乗根」\\ &=\sqrt[n]{a}\\ \end{align}$$ である. 指数法則から$a^{\frac{k}{n}}=(a^k)^{\frac{1}{n}}=(a^\frac{1}{n})^{k}$であるから, $$a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}=(\sqrt[n]{a})^k$$ が成り立つ. また, 指数が負の分数であれば $$a^{-\frac{k}{n}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^k}}=\dfrac{1}{(\sqrt[n]{a})^k}$$ である.
冪関数$x^a$は微分可能(従って連続)で $$(x^a)^\prime=ax^{a-1}$$ であった.
p41例2(2). $$\begin{align} &\left(\dfrac{1}{\sqrt[5]{x^3}}\right)^\prime\\ \underset{冪関数の形に}{=}&\left(x^{-\frac{3}{5}}\right)^\prime\\ \underset{冪関数の微分}{=}&-\dfrac{3}{5}\cdot x^{-\frac{8}{5}}\\ \underset{逆数を使った形に}{=}&-\dfrac{3}{5x^{\frac{8}{5}}}\\ \underset{指数法則}{=}&-\dfrac{3}{5x\cdot x^{\frac{3}{5}}}\\ \underset{累乗根を使った形に}{=}&-\dfrac{3}{5x\sqrt[5]{x^3}}\\ \end{align}$$
冪関数$x^a$の定義域は指数によって異なる. $$指数aが正の実数なら, x^aの定義域は0以上の数$$ $$指数aが負の実数なら, x^aの定義域は0より大きい数$$ である. 但し, $$指数aが整数ならば, x^aの定義域は負の実数も含める.$$
指数関数は定義域は実数全体$\mathbb{R}$で, 値は常に$0$より大きい.
指数関数$a^x$は次のように特徴付けることができることが知られている(証明は省略).
定理
関数$f(x)$について,
次の三つは互いに同値である:
1. $f(x)$は指数関数である, つまり, $a> 0$なる定数によって,
$$f(x)=a^x$$
と書ける.
2. $f(x)\ne 0$は
$$f(x_1+x_2)=f(x_1)f(x_2)$$
を満たす連続関数である.
(上の式は指数法則の第一の公式に当たる.)
3. $f(x)$は微分方程式の初期値問題
$$\begin{cases}f^\prime(x)=cf(x)\\ f(0)=1\end{cases}$$
の解である(但し, $c\ne 0$は定数).
指数関数$a^x$は如何なる底$a\ne 0$についても $$a^0=1$$ を満たすから, 底の値$a$は, 微分方程式 $$(a^x)^\prime=ca^x$$ の(比例)定数$c\ne 0$に依存して決まることになる. $c=1$のときは特別重要である.
定義 微分方程式 $$(e^x)^\prime=e^x$$ の解となる指数関数を自然指数関数(時には単に指数関数)と言い, その底$e$を自然な底とかネピアの数という. 自然指数関数$e^x$は $$\exp(x)$$ とも書かれる.
ネピアの数 $$e= 2.718181828\cdots$$ は無理数であることが知られている.
1. $冪=底^{指数}$で, 冪関数は底が変数, 指数関数は指数が変数となる関数
2. 三つの指数法則が成り立つ
3. 指数関数の本質は指数法則であり, また, 微分方程式で指数関数を特徴付けることができる.
4. ネピアの数$e$とは, $(e^x)^\prime=e^x$となる底のこと.
教科書p42-43のAの2, Bの1の中から4問以上選択し解きなさい. 但し, 答えは累乗根を用いて書き表しなさい.
定義 指数関数$a^x$の逆関数を対数関数と言い, $\log_ax$と書く. 定義から $$対数関数\log_ax\quad\overset{逆}{\iff}\quad指数関数a^x$$ $$\log_ax=「a^y=xとなるy」$$ である. ここで $$対数=\log_{底}真数$$ であり, 対数関数は, 対数における真数を変数としている.
特に $$\log_aa=「a^y=aとなるy」=1$$ $$\log_a1=「a^y=1となるy」=0$$ である.
定義 自然な底(=ネピアの数)$e$に対する対数関数$\log_ex$を$自然対数(関数)$ といい, 単に $$\log x$$ と書く. 対数関数の定義から $$\log x\quad\overset{逆}{\iff}\quad e^x$$ $$\log x=「e^y=xとなるy」$$ である.
特に $$\log e=「e^y=eとなるy」=1$$ $$\log 1=「e^y=1となるy」=0$$ である.
定理 $$a^{\log_ax}=x$$ $$\log_a a^x=x$$ $$y=a^x\quad\overset{移行}{\iff}\quad \log_ay=x$$
定理 $$\log_a xy=\log_a x+\log_a y\qquad \log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_ay$$ $$\log_a x^y=y\log_ax$$ $$\log_b x=\dfrac{\log_ax}{\log_ab}\quad (底の変換公式)$$
証明. $$\begin{align} &a^xa^y=a^{x+y}\\ \underset{x,yに\log_ax,\log_ayを代入}{\Longrightarrow}&a^{\log_ax}a^{\log_ay}=a^{\log_ax+\log_ay}\\ \underset{約分}{\Longrightarrow}&xy=a^{\log_ax+\log_ay}\\ \underset{移行}{\Longrightarrow}&\log_axy=\log_ax+\log_ay\\ \end{align}$$ また $$\begin{align} &(a^x)^y=a^{xy}\\ \underset{xに\log_axを代入}{\Longrightarrow}&(a^{\log_ax})^y=a^{(\log_ax)y}\\ \underset{約分}{\Longrightarrow}&x^y=a^{(\log_ax)y}\\ \underset{移行}{\Longrightarrow}&\log_ax^y=(\log_ax)y=y\log_ax\\ \end{align}$$ 最後に $$\begin{align} &(a^x)^y=a^{xy}\\ \underset{x,yに\log_ab,\log_bxを代入}{\Longrightarrow}&(a^{\log_ab})^{\log_bx}=a^{\log_ab\log_bx}\\ \underset{約分}{\Longrightarrow}&b^{\log_bx}=a^{\log_ab\log_bx}\\ \underset{約分}{\Longrightarrow}&x=a^{\log_ab\log_bx}\\ \underset{移行}{\Longrightarrow}&\log_ax=\log_ab\log_bx\\ \underset{変形}{\Longrightarrow}&\log_bx=\dfrac{\log_ax}{\log_ab}\\ \end{align}$$
後に学ぶ対数関数の微分では, 対数法則を使って変形してから微分を行うと計算が簡単になる.
p66問2. (1) $$\begin{align} &\log\sqrt{e}\\ \underset{真数を冪で表す}{=}&\log e^{\frac{1}{2}}\\ \underset{対数法則}{=}&\dfrac{1}{2}\log e\\ \underset{対数法則}{=}&\dfrac{1}{2}\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &5\log x-\log\dfrac{1}{x}\\ \underset{真数を冪で表す}{=}&5\log x-\log x^{-1}\\ \underset{対数法則}{=}&5\log x+\log x\\ \underset{整理して}{=}&6\log x\\ \end{align}$$
定理 対数関数$\log_ax$ (但し定数$a$は$a>0, a\ne 1$) は連続な単調関数で, その定義域は正の実数の範囲$(0,\infty)$である.
対数関数$\log_ax$は単調増加で, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_ax=\infty$, $\displaystyle\lim_{x\searrow 0}\log_ax=-\infty$
対数関数$\log_ax$は単調減少で, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_ax=-\infty$, $\displaystyle\lim_{x\searrow 0}\log_ax=\infty$
1. $対数=\log_底真数$で, $\log_ax=$「$a^y=x$となる$y$」である.
2. 自然対数$\log x=$「$e^y=x$となる$y$」である.
3. 対数法則
4. 対数関数の定義域は正の実数
教科書p71-73のAの2(2)-(6), Bの2に現れる関数を対数法則を使って分解しなさい.