日大工　総合教育　樋口幸治郎

工科系数学I及び演習(2017年度後期)

第27,28回　微分の補足

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初めに

オイラーの公式と極座標表示について学ぶ(教科書範囲外). また2次関数の焦点について学ぶ(教科書範囲外).

高次導関数とオイラーの公式

• 高次導関数(復習)

$f^{(n)}(x)=「f(x)をn回微分したもの」$

• 三角関数の高次導関数

正弦関数$\sin x$と余弦関数$\cos x$について $$(\sin x)^{(4n)}=\sin x\qquad (\cos x)^{(4n)}=\cos x$$ $$(\sin x)^{(4n+1)}=\cos x\qquad (\cos x)^{(4n+1)}=-\sin x$$ $$(\sin x)^{(4n+2)}=-\sin x\qquad (\cos x)^{(4n+2)}=-\cos x$$ $$(\sin x)^{(4n+3)}=-\cos x\qquad (\cos x)^{(4n+3)}=\sin x$$

• 冪級数展開(マクローリン展開, 復習)

関数$f(x)$の中には(無限の)多項式 $$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$$ と書けるものがあり, このとき, 係数$a_0,a_1,a_2,a_3,\cdots$は高次導関数の値を用いて $$a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$$ となる. 従って, $$f(x)=f(0)+\dfrac{f^\prime(0)}{1!}x+\dfrac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\cdots$$

例えば $$\left.(e^x)^{(n)}\right|_{x=0}=\left.e^x\right|_{x=0}=1$$ より $$e^x=1+\dfrac{1}{1!}x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{4!}x^4+\dfrac{1}{5!}x^5+\dfrac{1}{6!}x^6+\dfrac{1}{7!}x^7+\cdots$$

• 三角関数の冪級数展開

正弦関数$\sin x$と余弦関数$\cos x$について $$\left.(\sin x)^{(4n)}\right|_{x=0}=\left.\sin x\right|_{x=0}=0 \qquad \left.(\cos x)^{(4n)}\right|_{x=0}=\left.\cos x\right|_{x=0}=1$$ $$\left.(\sin x)^{(4n+1)}\right|_{x=0}=\left.\cos x\right|_{x=0}=1 \qquad \left.(\cos x)^{(4n+1)}\right|_{x=0}=\left.-\sin x\right|_{x=0}=0$$ $$\left.(\sin x)^{(4n+2)}\right|_{x=0}=\left.-\sin x\right|_{x=0}=0 \qquad \left.(\cos x)^{(4n+2)}\right|_{x=0}=\left.-\cos x\right|_{x=0}=-1$$ $$\left.(\sin x)^{(4n+3)}\right|_{x=0}=\left.-\cos x\right|_{x=0}=-1 \qquad \left.(\cos x)^{(4n+3)}\right|_{x=0}=\left.\sin x\right|_{x=0}=0$$

正弦関数$\sin x$と余弦関数$\cos x$の冪級数展開は \begin{align} \cos x&=1\quad-\dfrac{1}{2!}x^2\quad+\dfrac{1}{4!}x^4\quad-\dfrac{1}{6!}x^6\quad+\cdots\\ \sin x&=\quad \dfrac{1}{1!}x\quad-\dfrac{1}{3!}x^3\quad+\dfrac{1}{5!}x^5\quad-\dfrac{1}{7!}x^7+\cdots \end{align}

• オイラーの公式の証明

定理  $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$e^x$の冪級数展開で$x$に$ix$を代入してみる. \begin{align} e^{ix}&=1+\dfrac{i}{1!}x+\dfrac{i^2}{2!}x^2+\dfrac{i^3}{3!}x^3+\dfrac{i^4}{4!}x^4+\dfrac{i^5}{5!}x^5+\dfrac{i^6}{6!}x^6+\dfrac{i^7}{7!}x^7+\cdots\\ &=1\qquad\quad-\dfrac{1}{2!}x^2\qquad\quad+\dfrac{1}{4!}x^4\qquad\quad-\dfrac{1}{6!}x^6\qquad\qquad+\cdots\\ &\qquad+i\dfrac{1}{1!}x\qquad-i\dfrac{1}{3!}x^3\qquad\quad+i\dfrac{1}{5!}x^5\qquad\quad-i\dfrac{1}{7!}x^7\\ &=\cos x+i\sin x \end{align}

• 複素数の極座標表示

複素平面上の点$z=x+iy\ne 0$について, $z$と原点$0$を結ぶ線分$\overline{0z}$の長さを$r>0$, また, 線分$\overline{0z}$と実軸のなす角を$\theta$とすれば, $$z=r\cos\theta+ir\sin\theta=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}=e^{\log r}e^{i\theta}=e^{\log r+i\theta}$$ と表すことができる. このような表し方を極座標表示という.

• 複素数の積

$$z_1=r_1e^{i \theta_1}\qquad z_2=r_2e^{i \theta_2}$$ の積は $$z_1z_2=r_1e^{i \theta_1}r_2e^{i \theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

従って, 複素数$z_2=r_2e^{i\theta_2}$をかけることは, 原点からの長さを$r_2$倍し, さらに$\theta_2$だけ回転することを意味している.

2次関数の焦点

• 角度$\dfrac{\pi}{2}-x$の性質

(復習)
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$

$\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\dfrac{1}{\tan x}$

• 三角関数の加法定理(復習)

$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

• 正接の加法定理と倍角の公式

定理  $\tan(x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$

系  $\tan 2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$

• 逆三角関数(復習)

$\arcsin x=「\sin y=xとなる-\dfrac{\pi}{2}\le y\le\dfrac{\pi}{2}」$
$\arccos x=「\cos y=xとなる0\le y\le x」$
$\arctan x=「\tan y=xとなる-\dfrac{\pi}{2}<y<\dfrac{\pi}{2}」$


• 正接と逆正接と接線

直線$y=ax+b$の傾き$a$は, $x$軸と直線のなす角度を$\theta$とすれば, $$\tan\theta=a$$ と表され, よって, $$\theta=\arctan a$$ となる.

また, 直線$y=ax+b$と$y$軸のなす角度は$\varphi=\dfrac{\pi}{2}-\theta=\dfrac{\pi}{2}-\arctan a$であるから, $$\tan\varphi=\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan a\right)=\dfrac{1}{\tan\arctan a}=\dfrac{1}{a}$$ となる.

• 微分と接線(復習)

関数$f(x)$の点$P(a,f(a))$での接線の方程式は $$y=f^\prime(a)(x-a)+f(a)$$ である.

• 2次関数の焦点

三角関数の変形公式を利用して, 2次関数$y=x^2$が焦点を持つこと, すなわち光(や音や熱など)が垂直に降りてくるとき, 反射した光が一点に集まることを示す.

図のように, 光が垂直に点$P(a,a^2)$に落ちてきたとしよう. 点Pでの反射光の軌道の傾きを$b$とおく. 点Pでの2次関数の接線と, 反射光の軌道の直線の式はそれぞれ $$点Pでの接線\quad y=2a(x-a)+a^2$$ $$点Pでの反射光の軌道\quad y=b(x-a)+a^2$$ である.

反射光と入射光の角度の関係を考えれば, $$\dfrac{\pi}{2}-\arctan b=2\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan 2a\right)$$ 故に $$\begin{align} \tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan b\right)&=\tan\left(2\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan 2a\right)\right)\\ \dfrac{1}{b}&=\dfrac{2\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan 2a\right)}{1-\tan^2\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan 2a\right)}\\ \dfrac{1}{b}&=\dfrac{2\left(\dfrac{1}{2a}\right)}{1-\dfrac{1}{(2a)^2}}\\ b&=a-\dfrac{1}{4a}\\ \end{align}$$

従って, 点$P$での反射光の軌道の式は $$y=\left(a-\dfrac{1}{4a}\right)(x-a)+a^2=\left(a-\dfrac{1}{4a}\right)x+\dfrac{1}{4}$$ であり, $y$切片は$\dfrac{1}{4}$である. これは点$P(a,a^2)$の位置に依存しない形の値となっている. 言い換えれば, $$2次関数上のどんな点での反射光も点(0,\dfrac{1}{4})を通る$$ この点が焦点である.