日大工 総合教育 樋口幸治郎
工科系数学I及び演習(2017年度後期)
第21,22回 逆三角関数
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初めに
逆三角関数の定義と微分を学ぶ(教科書p56-64).
逆三角関数
- 逆三角関数
三角関数の逆関数を逆三角関数という.
例えば, $f(x)=\sin x$の逆は
$$f^{-1}(x)=「\sin y=xとなるy」$$
であるが,
これだと$f^{-1}(x)$は多値関数となってしまう.
そこで, 逆関数の値(=角度)の範囲を制限して, 値がちょうど一つのようにしたものを考える.
定義(p56-59)
$$逆正弦関数 \arcsin x=「\sin y=xとなる-\dfrac{\pi}{2}\le y\le\dfrac{\pi}{y}」$$
$$逆余弦関数 \arccos x=「\cos y=xとなる0\le y\le\pi」$$
$$逆正接関数 \arctan x=「\tan y=xとなる-\dfrac{\pi}{2}< y<\dfrac{\pi}{y}」$$
教科書では$\sin^{-1}x,\cos^{-1}x,\tan^{-1}x$という表記を用いていることに注意せよ.
このときの記号「$\ ^{-1}$」は逆関数の意味であって, 逆数の意味ではない.
- 例題
p57例1.
(1) $\arcsin 0=?$
(2) $\arcsin \dfrac{1}{2}=?$
(3) $\arcsin -\dfrac{1}{\sqrt{2}}=?$
答
$$\arcsin 0=「\sin y=0となる-\dfrac{\pi}{2}\le y\le\dfrac{\pi}{2}」=0$$
$$\arcsin\dfrac{1}{2}=「\sin y=\dfrac{1}{2}となる-\dfrac{\pi}{2}\le y\le\dfrac{\pi}{2}」=\dfrac{\pi}{6}$$
$$\arcsin-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=「\sin y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}となる-\dfrac{\pi}{2}\le y\le\dfrac{\pi}{2}」=-\dfrac{\pi}{4}$$
p60例2.
(1) $\arctan 1=?$
(2) $\arctan \sqrt{3}=?$
(3) $\arctan -\dfrac{1}{\sqrt{3}}=?$
答
$$\arctan 1=「\tan y=1となる-\dfrac{\pi}{2}< y<\dfrac{\pi}{2}」=\dfrac{\pi}{4}$$
$$\arctan \sqrt{3}=「\tan y=\sqrt{3}となる-\dfrac{\pi}{2}< y<\dfrac{\pi}{2}」=\dfrac{\pi}{6}$$
$$\arctan-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=「\tan y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}となる-\dfrac{\pi}{2}< y<\dfrac{\pi}{2}」=-\dfrac{\pi}{6}$$
- 約分と移行
$-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$のとき
$$y=\sin x\quad\overset{移行}{\iff}\quad\arcsin y=x$$
$$\arcsin(\sin x)\overset{約分}{=}x\qquad \sin(\arcsin y)\overset{約分}{=}y$$
$0\le x\le \pi$のとき
$$y=\cos x\quad\overset{移行}{\iff}\quad\arccos y=x$$
$$\arccos(\cos x)\overset{約分}{=}x\qquad \cos(\arccos y)\overset{約分}{=}y$$
$-\dfrac{\pi}{2}< x<\dfrac{\pi}{2}$のとき
$$y=\tan x\quad\overset{移行}{\iff}\quad\arctan y=x$$
$$\arctan(\tan x)\overset{約分}{=}x\qquad \tan(\arctan y)\overset{約分}{=}y$$
- 例題1(p58)
$\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$
を証明しなさい.
答.
三角関数の公式$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$を,
代入・約分・移行で変形していくと
$$\begin{align}
&\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\\
\underset{xに\arcsin xを代入}{\Longrightarrow}&
\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x\right)=\sin(\arcsin x)\\
\underset{約分}{\Longrightarrow}&
\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x\right)=x\\
\underset{移行}{\Longrightarrow}&
\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x=\arccos x\\
\underset{等式変形}{\Longrightarrow}&
\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}\\
\end{align}$$
- 逆三角関数のグラフ
図からもわかるように, $\arcsin x$, $\arccos x$の定義域は$[-1,1]$であり,
$\arctan x$の定義域は実数全体$(-\infty,\infty)$である.
また, 逆三角関数は単調な連続関数である.
- 今回の要点
$$逆正弦関数 \arcsin x=「\sin y=xとなる-\dfrac{\pi}{2}\le y\le\dfrac{\pi}{y}」$$
$$逆余弦関数 \arccos x=「\cos y=xとなる0\le y\le\pi」$$
$$逆正接関数 \arctan x=「\tan y=xとなる-\dfrac{\pi}{2}< y<\dfrac{\pi}{y}」$$
- 課題
教科書p62-63のAの3,4の中から4問以上解きなさい.
逆三角関数の微分
- 逆三角関数の微分
定理
$\big(\arcsin x\big)^\prime=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
証明
$$\begin{align}
\underset{約分の公式}{\Longrightarrow}&\sin(\arcsin x)=x\\
\underset{微分}{\Longrightarrow}&(\sin(\arcsin x))^\prime=x^\prime\\
\underset{合成の微分}{\Longrightarrow}&\cos(\arcsin x)\cdot(\arcsin x)^\prime=1\\
\underset{等式変形}{\Longrightarrow}&(\arcsin x)^\prime=\dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}\\
\underset{三角関数の公式}{\Longrightarrow}&(\arcsin x)^\prime=\dfrac{1}{\sqrt{1-(\sin(\arcsin x))^2}}\\
\underset{約分}{\Longrightarrow}&(\arcsin x)^\prime=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\end{align}$$
定理
$\big(\arccos x\big)^\prime=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
証明
$$\begin{align}
\underset{p58例題1}{\Longrightarrow}&\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}\\
\underset{微分}{\Longrightarrow}&(\arcsin x+\arccos x)^\prime=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^\prime\\
\underset{微分計算}{\Longrightarrow}&\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}+(\arccos x)^\prime=0\\
\underset{等式変形}{\Longrightarrow}&(\arccos x)^\prime=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
\end{align}$$
定理
$\big(\arctan x\big)^\prime=\dfrac{1}{1+x^2}$
証明
$$\begin{align}
\underset{約分の公式}{\Longrightarrow}&\tan(\arctan x)=x\\
\underset{微分}{\Longrightarrow}&(\tan(\arctan x))^\prime=x^\prime\\
\underset{合成の微分}{\Longrightarrow}&\dfrac{1}{\cos^2(\arctan x)}\cdot(\arctan x)^\prime=1\\
\underset{等式変形}{\Longrightarrow}&(\arcsin x)^\prime=\cos^2(\arctan x)\\
\underset{三角関数の公式}{\Longrightarrow}&(\arcsin x)^\prime=\dfrac{1}{1+(\tan(\arctan x))^2}\\
\underset{約分}{\Longrightarrow}&(\arcsin x)^\prime=\dfrac{1}{1+x^2}\\
\end{align}$$
- 例題
p61例1(1) $(\arcsin 2x)^\prime=?$
(2) $(\arctan 3x)^\prime=?$
答
(1)
$$\begin{align}
&(\arcsin 2x)^\prime\\
\underset{合成の微分}{=}&\dfrac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}}\cdot(2x)^\prime\\
\underset{計算}{=}&\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\\
\end{align}$$
(2)
$$\begin{align}
&(\arctan 3x)^\prime\\
\underset{合成の微分}{=}&\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot(3x)^\prime\\
\underset{計算}{=}&\dfrac{3}{1+9x^2}\\
\end{align}$$
p61例題1(1) $\left(\arcsin \dfrac{x}{a}\right)^\prime=?$
(2) $\left(\arctan \dfrac{x}{a}\right)^\prime=?$
答
(1)
$$\begin{align}
&\left(\arcsin \dfrac{x}{a}\right)^\prime\\
\underset{合成の微分}{=}&\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}}\cdot\left(\dfrac{x}{a}\right)^\prime\\
\underset{計算}{=}&\dfrac{1}{a\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}}\\
\underset{計算}{=}&\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\\
\end{align}$$
(2)
$$\begin{align}
&\left(\arctan \dfrac{x}{a}\right)^\prime\\
\underset{合成の微分}{=}&\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}\cdot\left(\dfrac{x}{a}\right)^\prime\\
\underset{計算}{=}&\dfrac{1}{a\left(1+\dfrac{x^2}{a^2}\right)}\\
\underset{計算}{=}&\dfrac{a}{a^2+x^2}\\
\end{align}$$
p62例題2 $\left(\dfrac{1}{\arcsin^2 3x}\right)^\prime=?$
答
$$\begin{align}
&\left(\dfrac{1}{\arcsin^2 3x}\right)^\prime\\
\underset{逆数の微分}{=}&-\dfrac{(\arcsin^23x)^\prime}{\arcsin^4 3x}\\
\underset{合成の微分}{=}&-\dfrac{2\arcsin 3x\cdot(\arcsin 3x)^\prime}{\arcsin^4 3x}\\
\underset{合成の微分}{=}&-\dfrac{2\arcsin 3x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-9x^2}}\cdot(3x)^\prime}{\arcsin^4 3x}\\
\underset{計算}{=}&-\dfrac{6}{\sqrt{1-9x^2}\arcsin^3 3x}\\
\end{align}$$
- 今回の要点
$$(\arcsin x)^\prime=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(\arctan x)^\prime=\dfrac{1}{1+x^2}$$
- 課題
p62-64のAの5-8, Bの中から10問以上解きなさい.