elles se sont prêté des forces mutuelles,
et ont marché ensemble d'un pas rapide vers la perfection.
この二つの理論(代数と幾何)が手を取り合えば, 相補して完璧へと足を早めていく.
日大工 総合教育 樋口幸治郎
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Lorsque ces deux sciences se sont réunies,
elles se sont prêté des forces mutuelles,
et ont marché ensemble d'un pas rapide vers la perfection.
この二つの理論(代数と幾何)が手を取り合えば, 相補して完璧へと足を早めていく.
--- Leçons élémentaires sur les Mathématiques Joseph-Louis Lagrange
「数学初等講座」ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ
今回の主な内容は, 積の微分公式, 商の微分公式を学ぶこと(教科書p35-37), 及び, 逆関数について学ぶことである(教科書p53-55).
定理(p35[III]) $\Big(f(x)g(x)\Big)^\prime=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)$
証明 まず, 単純な計算で $$4f(x)g(x)=(f(x)+g(x))^2-(f(x)-g(x)^2$$ の成立が分かる. 両辺を微分すれば, $$ \begin{align} 4\Big(f(x)g(x)\Big)^\prime =&\left((f(x)+g(x))^2-(f(x)-g(x))^2\right)^\prime\\ \underset{微分の線形性}{=}&\left((f(x)+g(x))^2\right)^\prime-\left((f(x)-g(x)^2\right)^\prime\\ \underset{合成の微分}{=}&2(f(x)+g(x))(f^\prime(x)+g^\prime(x))-2(f(x)-g(x))(f^\prime(x)-g^\prime(x))\\ \underset{計算}{=}&4f(x)g^\prime(x)+4f^\prime(x)g(x)\\ \end{align} $$ を得る. 故に両辺を$4$で割って $$\Big(f(x)g(x)\Big)^\prime=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)$$
定理(p36[IV]) $$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime=\dfrac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2}$$ ここで$f(x)=1$とすれば$f^\prime(x)=0$より $$\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)^\prime=-\dfrac{g^\prime(x)}{g(x)^2}$$
証明 積の微分公式を変形していく $$\begin{align} &\Big(f(x)g(x)\Big)^\prime=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)\\ \underset{f(x)に\frac{f(x)}{g(x)}を代入}{\Longrightarrow}& \left(\dfrac{f(x)}{g(x)}g(x)\right)^\prime=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime g(x)+\dfrac{f(x)}{g(x)}g^\prime(x)\\ \underset{左辺を計算}{\Longrightarrow}& f^\prime(x)=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime g(x)+\dfrac{f(x)}{g(x)}g^\prime(x)\\ \underset{移行して整理}{\Longrightarrow}& \left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime=\dfrac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2}\\ \end{align}$$
(1) $\left((3x+7)(5x^2+2x)\right)^\prime=?$ (2) $\left((x^2+2)\sqrt{2x+1}\right)^\prime=?$
答. (1) $$\begin{align} &\left((3x+7)(5x^2+2x)\right)^\prime\\ \underset{積の微分}{=}&(3x+7)^\prime(5x^2+2x)+(3x+7)(5x^2+2x)^\prime\\ \underset{微分を計算}{=}&3(5x^2+2x)+(3x+7)(10x+2)\\ \underset{式展開して整理}{=}&45x^2+82x+14\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\left((x^2+2)\sqrt{2x+1}\right)^\prime\\ \underset{積の微分}{=}&(x^2+2)^\prime\sqrt{2x+1}+(x^2+2)(\sqrt{2x+1})^\prime\\ \underset{微分を計算}{=}&2x\sqrt{2x+1}+(x^2+2)\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\\ \underset{通分}{=}&\dfrac{2x(2x+1)+(x^2+2)}{\sqrt{2x+1}}\\ \underset{式展開して整理}{=}&\dfrac{5x^2+2x+2}{\sqrt{2x+1}}\\ \end{align}$$
(1) $\left(\dfrac{x-3}{x+5}\right)^\prime=?$ (2) $\left(\dfrac{x+3}{x^2+x+1}\right)^\prime=?$
答. (1) $$\begin{align} &\left(\dfrac{x-3}{x+5}\right)^\prime\\ \underset{商の微分}{=}&\dfrac{(x-3)^\prime(x+5)-(x-3)(x+5)^\prime}{(x+5)^2}\\ \underset{微分を計算}{=}&\dfrac{(x+5)-(x-3)}{(x+5)^2}\\ \underset{整理}{=}&\dfrac{8}{(x+5)^2}\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} &\left(\dfrac{x+3}{x^2+x+1}\right)^\prime\\ \underset{商の微分}{=}&\dfrac{(x+3)^\prime(x^2+x+1)-(x+3)(x^2+x+1)^\prime}{(x^2+x+1)^2}\\ \underset{微分を計算}{=}&\dfrac{(x^2+x+1)-(x+3)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}\\ \underset{式展開して整理}{=}&\dfrac{-x^2-6x-2}{(x^2+x+1)^2}\\ \end{align}$$
1. 積の微分公式$(fg)^\prime=f^\prime g+fg^\prime$
2. 商の微分公式$\left(\dfrac{f}{g}\right)^\prime=\dfrac{f^\prime g-fg^\prime}{g^2}$
教科書p43のAの5-8, Bの2-10の中から8問以上選択して解きなさい.
定義(p53) 関数$y=f(x)$に対し, 逆関数$f^{-1}(x)$を $$f^{-1}(x)=「f(y)=xとなるy」$$ で定まる関数とする.
例. $$引き算x-a=「y+a=xとなるy」=足し算x+aの逆$$ $$割り算x\div a=「y\times a=xとなるy」=掛け算x\times aの逆$$ $$平方根\pm\sqrt{x}=「y^2=xとなるy」=2乗x^2の逆$$ $$累乗根\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}=「y^n=xとなるy>0」=n乗x^nの逆$$ $$対数\log_ax=「a^y=xとなるy」=指数関数a^xの逆$$ $$逆正弦\arcsin x=\sin^{-1}x=「\sin y=xとなるy」=正弦\sin xの逆$$ $$不定積分\int f(x)dx=「\dfrac{d}{dx}F(x)=f(x)となるF(x)」=微分\dfrac{d}{dx}の逆$$
例えば2乗$f(x)=x^2$の逆は $$f^{-1}(x)=「y^2=xとなるy」=\pm\sqrt{x}$$ と複数の値を持ってしまう. このような複数の値を持つ関数を $$多値関数$$ と呼ぶ.
この講義では多値関数の取り扱いは避けることにする.
以下で定義する単調な関数は, その逆関数の値が一つに定まる.
定義(p53) 関数$y=f(x)$が単調増加であるとは, グラフが右上がりであることを言う. 言い換えると, 独立変数$x$の値が増えると従属変数$y=f(x)$の値も増えることを言う. 逆に, グラフが右下がり,つまり, $x$が増えると$y=f(x)$が減るような関数は単調減少という. 単調増加と単調減少を合わせて, 単に, $$単調$$ という. $$単調増加 = グラフが右上がり = xが増えるとyも増える$$ $$単調減少 = グラフが右下がり = xが増えるとyは減る$$
定理 単調関数$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$の値は(あれば)一つに定まる.
証明. $f^{-1}(x)=「f(y)=xとなるy」$である. 関数$f$は単調なので, yが増えると$f(y)$も増えるから, 異なる$y_1,y_2$で$f(y_1)=f(y_2)$となることは有り得ない. 従って, $f^{-1}(x)$の値が2つ以上にはならない.
議論を簡単にするため, 以下で逆関数$f^{-1}(x)$を考えるとき, $$f^{-1}(x)の値は(あれば)一つに定まるものだけ考える.$$ 単調関数の逆$f^{-1}(x)$は値が一つに定まるので, 関数が単調である領域に定義域を制限して取り扱うことも多い.
例. $$2次関数x^2の定義域を正の実数に制限すれば, 逆関数は\sqrt{x}=「y^2=xとなるy>0」$$ $$2次関数x^2の定義域を負の実数に制限すれば, 逆関数は-\sqrt{x}=「y^2=xとなるy<0」$$
所謂, 約分と移行は, 関数とその逆関数についての公式である. 約分と移行の公式は, 逆関数$f^{-1}(x)$の意味 $$f^{-1}(x)=「f(y)=xとなるy」$$ から直ちに導かれる.
約分の公式 $$f(f^{-1}(x))=x$$ $$f^{-1}(f(x))=x$$
証明. $$f(f^{-1}(x))=f(「f(y)=xとなるy」)=x$$ また, $$f^{-1}(f(x))=「f(y)=f(x)となるy」=x$$
移行の公式 $$y=f(x)\qquad\iff\qquad f^{-1}(y)=x$$
証明. $f^{-1}(y)=「f(z)=yとなるz」であるから, $f^{-1}(y)=x$と$y=f(x)$は同じ意味である.
関数$f(x)$の公式は, 基本的に, $$代入+約分+移行$$ を用いることで逆関数$f^{-1}(x)$の公式に変形できる. $$f(x)の公式\overset{代入+約分+移行}{\Longrightarrow}f^{-1}(x)の公式$$
定理(p54[II]) $$\left(f^{-1}(x)\right)^\prime=\dfrac{1}{f^\prime(f^{-1}(x))}$$
証明. $$\begin{align} &\left(f(x)\right)^\prime=f^\prime(x)\\ \underset{xにf^{-1}(x)を代入}{\Longrightarrow}&\left(f(f^{-1}(x))\right)^\prime\underset{合成の微分}{=}f^\prime(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))^\prime\\ \underset{約分}{\Longrightarrow}&(x)^\prime=f^\prime(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))^\prime\\ \underset{微分を計算}{\Longrightarrow}&1=f^\prime(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))^\prime\\ \underset{変形}{\Longrightarrow}&\left(f^{-1}(x)\right)^\prime=\dfrac{1}{f^\prime(f^{-1}(x))}\\ \end{align}$$
(1) $f(x)=(x+3)^2$ ($x>-3$)のとき, $f^{-1}(x)=?$, $\left(f^{-1}(x)\right)^\prime=?$
(2) $f(x)=\sqrt[3]{3-2x}$のとき, $f^{-1}(x)=?$, $\left(f^{-1}(x)\right)^\prime=?$
答. (1) $$\begin{align} f^{-1}(x)\underset{定義}{=}&「f(y)=xとなるy>-3」\\ \underset{f(y)=(y+3)^2を代入}{=}&「(y+3)^2=xとなるy>-3」\\ \underset{等式変形}{=}&「y=\sqrt{x}-3となるy>-3」\\ =&\sqrt{x}-3\quad(x>0)\\ \end{align}$$ $$\begin{align} \left(f^{-1}(x)\right)^\prime=&(\sqrt{x}-3)^\prime\\ =&\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ \end{align}$$ (2) $$\begin{align} f^{-1}(x)\underset{定義}{=}&「f(y)=xとなるy」\\ \underset{f(y)=\sqrt[3]{3-2y}を代入}{=}&「\sqrt[3]{3-2y}=xとなるy」\\ \underset{等式変形}{=}&「3-2y=x^3となるy」\\ \underset{等式変形}{=}&「y=-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{2}となるy」\\ =&-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{2}\\ \end{align}$$ $$\begin{align} \left(f^{-1}(x)\right)^\prime=&\left(-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{2}\right)^\prime\\ =&-\dfrac{3}{2}x^2\\ \end{align}$$
1. 逆関数$f^{-1}(x)=$「$f(y)=xとなるy$」
2. 単調関数の逆関数$f^{-1}(x)$の値は(あれば)一つ
3. 関数$f$と逆関数$f^{-1}$について, 約分・移行ができ,
$f$の公式$\overset{代入+約分+移行}{\Longrightarrow}$ $f^{-1}$の公式
教科書p62のAの1,2, Bの1の中から4問以上選択して解きなさい.